Macierz kwadratowa 𝑸 𝑛 ⨯ 𝑛 mówi się, że jest macierzą ortogonalną, jeśli jej wektory kolumnowe i wierszowe 𝑛 są ortogonalnymi wektorami jednostkowymi. Dokładniej, gdy jej wektory kolumnowe mają długość jeden i są parami ortogonalne; podobnie dla wektorów wierszowych.
Prowadzi to do następującej charakterystyki, że macierz 𝑸 staje się ortogonalna, gdy jej transpoza jest równa macierzy odwrotnej.
- Dlaczego macierz odwrotna do 𝑸 jest jej transpozycją?
Właściwości macierzy ortogonalnych
- 2.1 Każda macierz ortogonalna jest odwracalna
- 2.2. Iloczyn macierzy ortogonalnych jest również ortogonalny
- 2.3 Wyznacznik macierzy ortogonalnych
Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 lub -1. Ponieważ det(A) = det(Aᵀ), a wyznacznik iloczynu jest iloczynem wyznaczników, gdy A jest macierzą ortogonalną.
- 2.4 Zachowanie długości i kątów
- 2.5 Macierze ortogonalne reprezentują obrót
Jak widać na powyższych rysunkach, przekształcenie ortogonalne zachowuje długości i kąty bez zmian. Ponadto, jej wyznacznik jest zawsze równy 1 lub -1, co oznacza współczynnik skalowania objętości. Innymi słowy, przekształcenie ortogonalne pozostawia kąty i długości nienaruszone, a nie zmienia objętości równoległościanu. Z tych faktów możemy wywnioskować, że przekształcenie ortogonalne oznacza w rzeczywistości obrót.
Odniesienie
https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix
https://www.quora.com/Why-do-orthogonal-matrices-represent-rotations
https://byjus.com/maths/orthogonal-matrix/
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m251f10/m251s10orthogonal.pdf
https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate-bases/orthonormal-basis/v/lin-alg-orthogonal-matrices-preserve-angles-and-lengths