Es kommt häufig vor, dass in einer elektrischen Schaltung Widerstände weder parallel noch in Reihe geschaltet sind.
Wye-Delta-Transformationen
Das Beispiel ist in Abbildung.(1) zu sehen. Viele Schaltungen des Typs in Abbildung.(1) können mit dreipoligen Ersatzschaltbildern gelöst werden.
Abbildung 1. Das Brückennetz
Die Lösung ist das in den Abbildungen (2a) und (2b) dargestellte Stern- (Y) oder T-Stück- (T) und das Dreieck- (Δ) oder Pi-Stück- (Π) Netz in den Abbildungen (3a) und (3b).
Abbildung 2. Form des Netzwerks : (a) Y, (b) T
Abbildung 3. Form der Netzwerke : (a)delta , (b) pi
Diese Netzwerke treten als Teil eines größeren Netzwerks auf. Sie werden im Dreiphasennetz, in einem elektrischen Filter und in Anpassungsnetzwerken verwendet.
Hier geht es darum, den Typ der Netzwerke zu erkennen und die Stern-Dreieck-Transformation bei der Schaltungsanalyse anzuwenden.
Dreieck-zu-Stern-Umwandlung
Lassen Sie uns die Bedingung annehmen, dass das Sternnetz an einem Ort mit einer Schaltung in Dreieckskonfiguration günstiger ist.
Wir legen ein Sternnetz auf das vorhandene Dreiecknetz und finden die Ersatzwiderstände im Sternnetz.
Um äquivalente Widerstände im Sternnetz zu erhalten, vergleichen wir die beiden Netze und stellen sicher, dass der Widerstand zwischen jedem Knotenpaar im Dreieck (Δ) oder Pi (Π) im Sternnetz (Y) oder im T-Netz (T) gleich ist.
Für die Klemmen 1 und 2 in den Abbildungen.(2) und (3) zum Beispiel,
(1)
Einstellung R12(Y) = R12(Δ) ergibt
(2a)
Gleichermaßen,
(2b)
(2c)
Gleichungen subtrahieren.(2c) von (2a), erhalten wir
(3)
Addieren der Gleichungen.(2b) und (3) erhalten wir
(4)
Subtrahieren der Gleichungen.(3) von (2b) ergibt
(5)
Subtrahieren von Gleichungen.(4) von (2a) erhalten wir
(6)
Aktuell brauchen wir uns die Gleichungen.(4) bis (6) nicht zu merken.
Um ein Δ-Netz nach Y zu transformieren, legen wir einen zusätzlichen Knoten n an, wie in Abbildung.(4) dargestellt.
Abbildung 4. Überlagerung von Stern- und Dreiecknetz
Und die Umrechnungsregel lautet:
Jeder Widerstand im Y-Netz ist das Produkt der Widerstände in den beiden benachbarten Δ-Zweigen, dividiert durch die Summe der drei Δ-Widerstände.
Man kann dieser Regel folgen und erhält die Gleichungen.(4) bis (6) aus Abbildung (4) erhalten.
Umwandlung von Stern in Dreieck
Um die Umwandlungsformeln für die Umwandlung eines Sternnetzes in ein äquivalentes Dreiecknetz zu erhalten, stellen wir aus Gleichungen.(4) bis (6), dass
(7)
Dividiert man Gleichung.(7) durch jede der Gleichungen.(4) bis (6) erhält man die folgenden Gleichungen :
(8)
(9)
(10)
Aus Gleichungen.(8) bis (10) und Abbildung.(4) folgt die Umrechnungsvorschrift für Y nach Δ:
Jeder Widerstand im Δ-Netzwerk ist die Summe aller möglichen Produkte der Y-Widerstände, jeweils zwei auf einmal genommen, geteilt durch den gegenüberliegenden Y-Widerstand.
Die Y- und Δ-Netzwerke gelten als symmetrisch wenn
(11)
Unter diesen Bedingungen, lautet die Umrechnungsformel
(12)
Für diejenigen, die fragen, warum RY kleiner als RΔ ist. Von der Verbindung aus betrachtet, ist das Y-Netzwerk wie eine „Serien“-Verbindung und das Δ-Netzwerk wie eine „Parallel“-Verbindung.
Die obige Gleichung ist aus den Kirchhoffschen Gesetzen, der Knotenspannungsanalyse und der Maschenstromanalyse erstellt.
Wye-Delta-Transformationen Beispiele
Zum besseren Verständnis lassen Sie uns das folgende Beispiel durchgehen:
1.Wandeln Sie das Δ-Netzwerk in Abbildung (5a) in ein äquivalentes Y-Netzwerk um.
Abbildung 5
Lösung:
Unter Verwendung der Gleichungen.(5) bis (6) erhalten wir
Das äquivalente Y-Netzwerk ist in Abbildung.(5b) dargestellt.