Was ist das Biot-Savart-Gesetz
Das Biot-Savart-Gesetz ist eine Gleichung, die das durch einen konstanten elektrischen Strom erzeugte Magnetfeld beschreibt. Es setzt das Magnetfeld mit der Größe, der Richtung, der Länge und der Nähe des elektrischen Stroms in Beziehung. Das Biot-Savart-Gesetz ist sowohl mit dem Ampere’schen Kreislaufgesetz als auch mit dem Gauß’schen Lehrsatz konsistent. Das Biot-Savart-Gesetz ist grundlegend für die Magnetostatik und spielt eine ähnliche Rolle wie das Coulombsche Gesetz in der Elektrostatik.
Das Biot-Savart-Gesetz wurde von zwei französischen Physikern aufgestellt, Jean Baptiste Biot und Felix Savart, die 1820 den mathematischen Ausdruck für die magnetische Flussdichte an einem Punkt durch einen nahegelegenen stromdurchflossenen Leiter ableiteten. Aus der Betrachtung der Auslenkung einer magnetischen Kompassnadel schlossen die beiden Wissenschaftler, dass jedes stromdurchflossene Element ein magnetisches Feld in den Raum um sich herum projiziert.
Durch Beobachtungen und Berechnungen hatten sie einen mathematischen Ausdruck abgeleitet, der zeigt, dass die magnetische Flussdichte dB direkt proportional zur Länge des Elements dl ist, der Stromstärke I, dem Sinus des Winkels θ zwischen der Stromrichtung und dem Vektor, der einen gegebenen Punkt des Magnetfelds mit dem Stromelement verbindet, und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands des gegebenen Punkts vom Stromelement r ist.
Biot-Savart-Gesetz Aussage & Ableitung
Das Biot-Savart-Gesetz kann wie folgt angegeben werden:
Wobei k eine Konstante ist, die von den magnetischen Eigenschaften des Mediums und dem System der verwendeten Einheiten abhängt. Im SI-Einheitensystem,
Daher lautet die endgültige Ableitung des Biot-Savart-Gesetzes,
Betrachten wir einen langen Draht, der einen Strom I führt und betrachten wir einen Punkt p im Raum. Der Draht ist im Bild unten durch rote Farbe dargestellt. Betrachten wir auch eine unendlich kleine Länge des Drahtes dl in einem Abstand r vom Punkt P, wie dargestellt. Hier ist r ein Abstandsvektor, der einen Winkel θ mit der Stromrichtung im infinitesimalen Teil des Drahtes bildet.
Wenn Sie versuchen, sich die Bedingung zu vergegenwärtigen, können Sie leicht verstehen, dass die magnetische Felddichte am Punkt P aufgrund dieser infinitesimalen Länge dl des Drahtes direkt proportional zum Strom ist, der von diesem Teil des Drahtes getragen wird.
Da der Strom durch diese infinitesimale Länge des Drahtes der gleiche ist wie der Strom, der durch den ganzen Draht selbst getragen wird, können wir schreiben,
Es ist auch sehr natürlich zu denken, dass die Magnetfelddichte an diesem Punkt P aufgrund der infinitesimalen Länge dl des Drahtes umgekehrt proportional zum Quadrat des geraden Abstandes vom Punkt P zum Zentrum von dl ist. Mathematisch können wir dies schreiben als,
Zu guter Letzt, ist die magnetische Felddichte an diesem Punkt P aufgrund dieses infinitesimalen Teils des Drahtes auch direkt proportional zur tatsächlichen Länge der infinitesimalen Länge dl des Drahtes.
Da θ der Winkel zwischen dem Abstandsvektor r und der Stromrichtung durch diesen infinitesimalen Teil des Drahtes ist, ist die Komponente von dl, die direkt senkrecht zum Punkt P steht, dlsinθ,
Nun, Diese drei Aussagen kombiniert, können wir schreiben,
Dies ist die Grundform des Biot-Savart-Gesetzes
Nun, setzen wir den Wert der Konstante k (die wir bereits am Anfang dieses Artikels eingeführt haben) in den obigen Ausdruck ein, erhalten wir
Hier, μ0 des Ausdrucks der Konstante k ist die absolute Permeabilität der Luft oder des Vakuums und ihr Wert ist 4π10-7 Wb/ A-m im SI-Einheitensystem. μr des Ausdrucks der Konstante k ist die relative Permeabilität des Mediums.
Nun kann die Flussdichte (B) am Punkt P aufgrund der Gesamtlänge des stromführenden Leiters oder Drahtes dargestellt werden als,
Wenn D der senkrechte Abstand des Punktes P vom Draht ist, dann
Nun kann der Ausdruck der Flussdichte B am Punkt P umgeschrieben werden als,
Wie in der Abbildung oben zu sehen,
Schließlich ergibt sich der Ausdruck von B als,
Dieser Winkel θ hängt von der Länge des Drahtes und der Position des Punktes P ab. Angenommen, für eine bestimmte begrenzte Länge des Drahtes variiert der Winkel θ wie in der obigen Abbildung angegeben von θ1 bis θ2. Daher ist die magnetische Flussdichte am Punkt P aufgrund der Gesamtlänge des Leiters,
Stellen wir uns vor, der Draht ist unendlich lang, dann variiert θ von 0 bis π, also θ1 = 0 bis θ2 = π. Setzt man diese beiden Werte in den obigen Endausdruck des Biot-Savart-Gesetzes ein, erhält man,
Dies ist nichts anderes als der Ausdruck des Ampere’schen Gesetzes.