Kommutator

Der Kommutator von zwei Elementen a und b eines Rings (einschließlich einer beliebigen assoziativen Algebra) ist definiert durch

= a b – b a .

Es ist Null, wenn und nur wenn a und b kommutieren. Wenn in der linearen Algebra zwei Endomorphismen eines Raumes durch kommutierende Matrizen in Bezug auf eine Basis dargestellt werden, dann werden sie auch in Bezug auf jede Basis so dargestellt. Durch die Verwendung des Kommutators als Lie-Klammer kann jede assoziative Algebra in eine Lie-Algebra umgewandelt werden.

Der Antikommutator von zwei Elementen a und b eines Rings oder einer assoziativen Algebra ist definiert durch

{ a , b } = a b + b a .

Der Anti-Kommutator zweier Elemente a und b ist definiert durch

{ a , b }

Einfach + {\displaystyle _{+}}

wird verwendet, um den Antikommutator zu bezeichnen, während – {\displaystyle _{-}}

dann für den Kommutator verwendet wird. Der Antikommutator wird seltener verwendet, kommt aber bei der Definition von Clifford-Algebren und Jordan-Algebren sowie bei der Herleitung der Dirac-Gleichung in der Teilchenphysik zum Einsatz.

Der Kommutator von zwei Operatoren, die auf einen Hilbert-Raum wirken, ist ein zentrales Konzept in der Quantenmechanik, da er quantifiziert, wie gut die beiden durch diese Operatoren beschriebenen Observablen gleichzeitig gemessen werden können. Die Unschärferelation ist aufgrund der Robertson-Schrödinger-Relation letztlich ein Theorem über solche Kommutatoren. Im Phasenraum werden äquivalente Kommutatoren von Funktionssternprodukten Moyal-Klammern genannt und sind vollständig isomorph zu den erwähnten Hilbert-Raum-Kommutatorstrukturen.

Identitäten (Ringtheorie)

Der Kommutator hat die folgenden Eigenschaften:

Lie-Algebra-IdentitätenBearbeiten

1. = + {\displaystyle =+}
   
2. = 0 {\displaystyle =0}
   
3. = – {\displaystyle =-}
   
4. ] + ] + ] = 0 {\displaystyle ]+]+]=0}
   

Die Beziehung (3) wird Antikommutativität genannt, während (4) die Jacobi-Identität ist.

Zusätzliche IdentitätenBearbeiten

Wenn A ein festes Element eines Rings R ist, kann die Identität (1) als Leibniz-Regel für die Abbildung ad A : R → R {\displaystyle \operatorname {ad} ad A : R → R}

gegeben durch ad A ( B ) = {\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=}

. Mit anderen Worten, die Abbildung adA definiert eine Ableitung auf dem Ring R. Die Identitäten (2), (3) stellen Leibnizregeln für mehr als zwei Faktoren dar und sind für jede Ableitung gültig. Die Identitäten (4)-(6) können auch als Leibniz-Regeln interpretiert werden. Die Identitäten (7), (8) drücken Z-Bilinearität aus.

Einige der obigen Identitäten können unter Verwendung der obigen tiefgestellten ±-Notation auf den Antikommutator ausgedehnt werden.Beispiel:

1. ± = A – + ± B {\displaystyle _{\pm }=A_{-}+_{\pm }B}
   
2. ± = A – D + A C – + – D B + C ± B {\displaystyle _{\pm }=A_{-}D+AC_{-}+_{-}DB+C_{\pm }B}
   
3. ± ] + ± ] + ± ] = 0 {\displaystyle \left_{\pm }\right]+\left_{\pm }\right]+\left_{\pm }\right]=0}
   
4. ± = – C + B ± {\displaystyle _{\pm }=_{-}C+B_{\pm }}
   
5. = ± C ∓ B ± {\displaystyle =_{\pm }=_{-}C_{\pm }}
   

ExponentialidentitätenBearbeiten

Betrachten Sie einen Ring oder eine Algebra, in der das Exponential e A = exp ( A ) = 1 + A + 1 2 ! A 2 + ⋯ {\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }

sinnvoll definiert werden kann, wie eine Banach-Algebra, ein Ring formaler Potenzreihen oder die universelle Hüllalgebra einer Lie-Algebra.

In einem solchen Ring ergibt das Hadamardsche Lemma angewendet auf verschachtelte Kommutatoren: e A B e – A = B + + 1 2 ! ] + 1 3 ! ] ] + ⋯ = e ad A ( B ) . {\displaystyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B++{\frac {1}{2!}}]+{\frac {1}{3!}}]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} {{A}}(B).}

(Für den letzten Ausdruck siehe Adjungierte Ableitung unten.) Diese Formel liegt der Baker-Campbell-Hausdorff-Erweiterung von log(exp(A) exp(B)) zugrunde.

Eine ähnliche Erweiterung drückt den Gruppenkommutator der Ausdrücke e A {\displaystyle e^{A}}

(analog zu Elementen einer Lie-Gruppe) in Form einer Reihe von verschachtelten Kommutatoren (Lie-Klammern), e A e B e – A e – B {\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}}