Eine 𝑛 ⨯ 𝑛 Quadratmatrix 𝑸 heißt eine orthogonale Matrix, wenn ihre 𝑛-Spalten- und Zeilenvektoren orthogonale Einheitsvektoren sind. Genauer gesagt, wenn ihre Spaltenvektoren die Länge eins haben und paarweise orthogonal sind; gleiches gilt für die Zeilenvektoren.
Das führt zu der folgenden Charakterisierung, dass eine Matrix 𝑸 orthogonal wird, wenn ihre Transponierte gleich ihrer inversen Matrix ist.
- Warum ist die inverse Matrix von 𝑸 ihre Transponierte?
Eigenschaften von orthogonalen Matrizen
- 2.1 Jede orthogonale Matrix ist invertierbar
- 2.2 Das Produkt von orthogonalen Matrizen ist ebenfalls orthogonal
- 2.3 Die Determinante von orthogonalen Matrizen
Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist gleich 1 oder -1. Denn det(A) = det(Aᵀ) und die Determinante des Produkts ist das Produkt der Determinanten, wenn A eine orthogonale Matrix ist.
- 2.4 Erhaltung von Längen und Winkeln
- 2.5 Orthogonale Matrizen stellen eine Drehung dar
Wie in den obigen Abbildungen bewiesen wird, bleiben bei einer orthogonalen Transformation die Längen und Winkel unverändert. Außerdem ist ihre Determinante immer 1 oder -1, was den Volumenskalierungsfaktor impliziert. Mit anderen Worten, die orthogonale Transformation lässt Winkel und Längen unverändert, und sie ändert das Volumen des Parallelepipeds nicht. Aus diesen Tatsachen können wir ableiten, dass die orthogonale Transformation eigentlich eine Drehung bedeutet.
Referenz
https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix
https://www.quora.com/Why-do-orthogonal-matrices-represent-rotations
https://byjus.com/maths/orthogonal-matrix/
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m251f10/m251s10orthogonal.pdf
https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate-bases/orthonormal-basis/v/lin-alg-orthogonal-matrices-preserve-angles-and-lengths