Die Chicago maths. bibliography hat mir wirklich geholfen, hier ist z.B. der elementare Teil (für lineare Algebra ist es im mittleren Teil zu finden, siehe Link)
ELEMENTARY
Das beinhaltet „high school topics“ und first-year calculus.
Inhalt
- Algebra (4)
- Geometrie (2)
- Grundlagen (1)
- Problemlösen (4)
- Kalkül (6)
- Brücken zu mittleren Themen (2)
Algebra
Gelfand/Shen, Algebra
Gelfand/Glagoleva/Shnol, Funktionen und Graphen
Gelfand/Glagoleva/Kirillov, Die Methode der Koordinaten
Diese drei kleinen weißen Bücher stammen von der sowjetischen Korrespondenzschule für Mathematik, die von I. M. Gelfand für Interessierte aller Altersgruppen in den weiteren Gebieten der UdSSR. Anstatt zu versuchen, künstlich „bodenständig“ zu sein, wie es die Amerikaner tun, geht Gelfand einfach davon aus, dass man die Mathematik verstehen kann, wie sie gemacht wird (und vermeidet die formalen Komplexitäten, an die Mathematiker gewöhnt sind). YSP und SESAME geben diese Bücher massenweise an ihre Studenten aus, die sie meistens lieben. TMoC ist bemerkenswert für sein faszinierendes Vier-Achsen-Schema zur Erstellung flacher Graphen von R4. Insgesamt ein frischer, inspirierender Blick auf Themen, die wir für selbstverständlich halten, und eine gute Sache, die man aufgeweckten jüngeren Schülern oder Freunden (oder Eltern!)
Cohen, Precalculus with unit circle trigonometry
Ich habe dieses Buch in der High School benutzt und liebte es absolut. Es ist sehr knapp bei den Beweisen und sollte wirklich nicht für diese Art von Einsicht verwendet werden. Aber wenn es darum geht, zu verstehen, wie man verschiedene mathematische Konzepte anwendet, ist es wunderbar. Es hat eine große Anzahl von Diagrammen, Beispielen und einfachen Referenztabellen. Es deckt die gesamte Algebra, Trigonometrie und kartesische Geometrie ab, mit der sich jede gute Highschool-Mathe-Sequenz beschäftigen sollte. Ich benutze es seit Jahren als Nachschlagewerk (z.B., was genau ist noch mal Cramers Regel…) Lösungen zu einer Reihe von Problemen sind hinten drin, und die Probleme sind nicht ausschließlich Anwendungen.
Geometrie
Euklid, Die Elemente
Nein, ich mache keine Witze. Am Anfang ist es unglaublich nervig und mühsam zu lesen, aber nach einer Weile kommt man in den Fluss der Sprache und des Stils. Euklid lehrt Sie sowohl die Macht der modernen algebraischen Methoden als auch die Dinge, die durch unseren Instinkt, einer Länge eine Zahl zuzuordnen, verborgen sind. Außerdem gibt es hier und da wunderbare Leckerbissen (wussten Sie, dass Euklid den Dedekind-Schnitt erfunden hat?). Schauen Sie wenigstens einmal rein, um seinen Beweis des Satzes von Pythagoras zu lesen. (Dank an Jonathan Beere (’95), der mich davon überzeugt hat, dass es sich lohnt.)
Ich habe Band I, und ich muss zugeben, dass ich ihn noch nicht wirklich gelesen habe. Ich denke aber, dass ich davon profitieren würde, wenn mir jemand etwas davon in die Kehle rammen würde, weil wir Studenten heutzutage darauf trainiert sind, „geometrisch“ als ein starkes Pejorativ zu betrachten – das genaue Gegenteil von Strenge und Beweisen.
Coxeter, Geometry revisited
Das ist ein Text über „fortgeschrittene euklidische Geometrie“, der mit den unzähligen klassischen „Zentren“ eines Dreiecks beginnt und von dort aus weitergeht. Viele gute Übungen. Es gibt viele „College-Geometrie“-Texte, in denen man diesen Stoff finden kann, aber die meisten davon richten sich an Mathematikstudenten; dieses Buch und Coxeters anderes (siehe unten) schlagen sie alle.
Ich mag dieses Buch. Ich besitze es nicht, aber ich habe es mehr als einmal durchgeblättert und ich stimme zu, dass es eine angenehme nicht-gehirntote Qualität hat. Es gibt interessante geometrische Fakten, die Sie hier wahrscheinlich noch nicht gesehen haben.
Grundlagen
Rucker, Unendlichkeit und der Verstand
Das ist nicht wirklich ein Mathebuch. Es ist eine freundliche Einführung in das Konzept der Unendlichkeit, der transfiniten Zahlen und der damit verbundenen Paradoxa. Ich würde es Oberstufenschülern empfehlen, die sich für Mathematik interessieren, aber noch nicht ganz bereit sind, sich hinzusetzen und einen Beweis nach dem anderen von Theoremen durchzulesen. (Tatsächlich habe ich es zum ersten Mal in der High School als Teil eines Mathekurses zum Selbststudium gelesen). Das Buch enthält zwar einige Beweise, aber nicht in der strengen Form eines Standard-Mathe-Textes. Es enthält mehr historischen Hintergrund zu den Konzepten als die meisten Mathe-Texte, was sehr schön ist. Jedes Kapitel wird von Problemen begleitet, und ein Antwortschlüssel (mit Erklärungen) befindet sich am Ende des Buches.
Problemlösung (Pre-College)
NML-Problembücher
Die MAA veröffentlicht eine Reihe namens „New Mathematical Library“, die viele ausgezeichnete Titel enthält, die auf oder unter College-Niveau sind (Geometry revisited ist darunter). In dieser Reihe gibt es vier Bücher mit Aufgaben zur AHSME, eines mit USAMO- und zwei mit IMO-Aufgaben, alle mit Lösungen. Wir benutzen die AHSME-Bücher ausgiebig bei YSP; die USAMO- und IMO-Probleme machen mir immer noch zu schaffen und machen Spaß, wenn man einen Abend lang Frust sucht.
Larson, Problemlösen durch Probleme
Nachdem Sie sich eine Weile mit den IMO-Problemen herumgeschlagen haben, finden Sie hier ein Buch, das (so viel wie jedes Buch kann) die Kunst des Lösens lehrt. Kognitive Strategien werden mit Beispielen von Problemen (meist aus Olympiaden und Putnams) dargelegt, auf die sie anwendbar sind.
Ich besitze dieses Buch, oder zumindest habe ich es seit der High School nicht mehr gesehen. Ich bin wirklich kein großer Problemlöser für Wettbewerbe, aber ich habe dieses Buch benutzt und ich denke, es hat mir geholfen, mich auf Chicago Mathematics vorzubereiten. Viele gute Probleme, nicht alle davon unsinnig.
Pólya, How to solve it
Ich habe das nicht gelesen, aber es soll die „klassische“ Version von Larson oben sein.
Pólya, Mathematics and plausible reasoning, I and II
Das sind die „Fortsetzungen“ von Pólyas How to solve it. Sie sind definitiv interessant, obwohl ihr Hauptinteresse psychologisch/philosophisch sein mag (nur in Bezug auf die Mathematik gehen Philosophie und Psychologie ineinander über!) Ich bin mir nicht sicher, ob man wirklich ein wesentlich besserer Problemlöser werden kann, wenn man ein Buch über die Natur des mathematischen Denkens liest, aber ich bewundere Pólya dafür, dass er ein interessantes und herausforderndes Buch über die Praxis der Mathematik geschrieben hat; solche Bücher sind meiner Meinung nach zu selten.
In den Jahren 1997-98 sind ein paar Bücher mit demselben allgemeinen Thema wie Larson, aber anderen Problemsammlungen, erschienen; ich habe keines davon gesehen.
Calculus
Natürlich, wie wir alle wissen, ist das eine wahre Calculus-Buch
Spivak, Calculus
Dies ist ein Buch, das jeder lesen sollte. Wenn Sie Calculus nicht kennen und die Zeit haben, lesen Sie es und machen Sie alle Übungen. In den Teilen 1 und 2 habe ich endlich gelernt, was ein Grenzwert ist, nach drei Jahren schlechter Kalkulationsbuch-„Erklärungen“. Das Ganze ist die am besten durchdachte und erklärte Behandlung der Ein-Variablen-Rechnung, die ich je gesehen habe (man kann durchweg sehen, dass Spivak eine Vision von dem hat, was er zu lehren versucht).
Das Buch hat natürlich Schwächen. Die Übungen werden ein wenig eintönig, weil Spivak ein paar Tricks hat, die er gerne wiederholt verwendet, und vielleicht zu wenige von ihnen befassen sich mit Anwendungen (aber diese Art von Übungen kann man in jedem Buch finden). Auch vermeidet er manchmal Raffinesse auf Kosten der Klarheit, wie bei den Beweisen der drei harten Theoreme in Kapitel 8 (wo eine Menge Epsilon-Pushing den Platz der Worte „kompakt“ und „verbunden“ einnimmt). Nichtsdestotrotz ist dies das beste Kalkülbuch insgesamt, und ich habe gesehen, dass es bei vielen Leuten einen wunderbaren Job der Gehirnentzerrung macht.
Ja, es ist gut, obwohl vielleicht mehr von der Zuneigung von fortgeschrittenen Studenten kommt, die es wieder durchblättern? Die meisten meiner Kontakte mit diesem Buch kommen aus der Nachhilfe und der Benotung für 161, aber ich glaube ernsthaft, dass die Arbeit an so vielen Problemen wie möglich (es muss zugegeben werden, dass viele davon für Studenten im ersten Jahr schwierig sind, und einige davon sind wirklich schwer!) ist von unschätzbarem Wert für die Entwicklung der mathematischen Reife und der epsilonischen Technik, die in keinem Mathe-Studium fehlen sollte.
Andere Kalkül-Bücher, die erwähnenswert sind, und warum:
Spivak, The hitchhiker’s guide to calculus
Genau das, was der Titel sagt. Ich habe es nicht gelesen, aber viele 130er Studenten lieben es.
Hardy, A course of pure mathematics
Courant, Differential and integral calculus
Diese beiden sind für „Kultur“. Sie sind klassische Abhandlungen der Infinitesimalrechnung, aus der Zeit, als ein Mathebuch noch rigoros war, Punkt. Hardy konzentriert sich mehr auf konzeptionelle Eleganz und Entwicklung (beginnend mit dem Aufbau von R). Courant geht weiter in die Anwendungen, als es üblich ist (einschließlich so viel über Fourier-Analyse, wie man ohne Lebesgue-Integration machen kann). Sie sind alt, und alte Bücher sind schwer zu lesen, aber normalerweise lohnt es sich. (Denken Sie daran, was Abel über das Lesen der Meister und nicht der Schüler sagte!)
Apostol, Calculus
Dies ist „der andere“ moderne rigorose Kalkül-Text. Liest sich wie ein Oberstufentext: Lemma-Theorem-Beweis-Korollar. Trocken, aber umfangreich (der zweite Band enthält auch Multivariable Calculus).