Der Satz des Pythagoras ist der bekannte geometrische Satz, dass die Summe der Quadrate auf den Schenkeln eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Quadrat auf der Hypotenuse (der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite) ist – oder, in bekannter algebraischer Notation, a2 + b2 = c2. Obwohl das Theorem lange Zeit mit dem griechischen Mathematiker und Philosophen Pythagoras (ca. 570-500/490 v. Chr.) in Verbindung gebracht wurde, ist es eigentlich viel älter. Vier babylonische Tafeln aus der Zeit um 1900-1600 v. Chr. deuten auf eine gewisse Kenntnis des Satzes hin, mit einer sehr genauen Berechnung der Quadratwurzel aus 2 (der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, bei dem die Länge beider Schenkel gleich 1 ist) und einer Liste spezieller ganzer Zahlen, die als pythagoreische Tripel bekannt sind und die den Satz erfüllen (z. B. 3, 4 und 5; 32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Das Theorem wird im indischen Baudhayana Sulba-sutra erwähnt, das zwischen 800 und 400 v. Chr. geschrieben wurde. Dennoch wurde das Theorem Pythagoras zugeschrieben. Es ist auch Satz Nummer 47 aus Buch I von Euklids Elementen.
Nach Angaben des syrischen Historikers Iamblichus (ca. 250-330 n. Chr.) wurde Pythagoras von Thales von Milet und seinem Schüler Anaximander in die Mathematik eingeführt. Auf jeden Fall ist bekannt, dass Pythagoras um 535 v. Chr. nach Ägypten reiste, um seine Studien fortzusetzen, während einer Invasion 525 v. Chr. von Kambyses II. von Persien gefangen genommen und nach Babylon gebracht wurde, und möglicherweise Indien besuchte, bevor er an das Mittelmeer zurückkehrte. Pythagoras ließ sich bald in Croton (heute Crotone, Italien) nieder und gründete eine Schule oder, modern ausgedrückt, ein Kloster (siehe Pythagoreismus), in dem alle Mitglieder ein strenges Geheimhaltungsgelübde ablegten, und alle neuen mathematischen Ergebnisse wurden für mehrere Jahrhunderte seinem Namen zugeschrieben. So ist nicht nur der erste Beweis des Satzes nicht bekannt, es gibt auch einige Zweifel, dass Pythagoras selbst den Satz, der seinen Namen trägt, tatsächlich bewiesen hat. Einige Gelehrte vermuten, dass der erste Beweis der in der Abbildung gezeigte war. Er wurde wahrscheinlich unabhängig voneinander in verschiedenen Kulturen entdeckt.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Buch I der Elemente endet mit Euklids berühmtem „Windmühlen“-Beweis des Satzes von Pythagoras. (Siehe Sidebar: Euklids Windmühle.) Später im Buch VI der Elemente liefert Euklid einen noch einfacheren Beweis, indem er den Satz verwendet, dass die Flächen ähnlicher Dreiecke proportional zu den Quadraten ihrer entsprechenden Seiten sind. Offensichtlich erfand Euklid den Windmühlenbeweis, um den Satz des Pythagoras als Schlussstein zu Buch I zu setzen. Er hatte noch nicht gezeigt (wie er es in Buch V tun würde), dass Linienlängen in Proportionen so manipuliert werden können, als wären sie kommensurable Zahlen (ganze Zahlen oder Verhältnisse von ganzen Zahlen). Das Problem, mit dem er konfrontiert war, wird in der Sidebar: Inkommensurables erklärt.
Es wurden sehr viele verschiedene Beweise und Erweiterungen des Satzes des Pythagoras erfunden. Mit Erweiterungen zuerst: Euklid selbst zeigte in einem in der Antike gepriesenen Satz, dass alle symmetrischen regelmäßigen Figuren, die auf die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gezeichnet werden, die pythagoreische Beziehung erfüllen: die auf die Hypotenuse gezeichnete Figur hat einen Flächeninhalt, der gleich der Summe der Flächeninhalte der auf die Schenkel gezeichneten Figuren ist. Die Halbkreise, die die Lunen des Hippokrates von Chios definieren, sind Beispiele für eine solche Erweiterung. (Siehe Sidebar: Quadratur der Lune.)
In den Neun Kapiteln über die mathematischen Verfahren (oder Neun Kapitel), die im 1. Jahrhundert n. Chr. in China zusammengestellt wurden, werden mehrere Probleme zusammen mit ihren Lösungen angegeben, bei denen es darum geht, die Länge einer der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden, wenn die beiden anderen Seiten gegeben sind. Im Kommentar von Liu Hui aus dem 3. Jahrhundert bietet Liu Hui einen Beweis des Satzes von Pythagoras an, bei dem die Quadrate auf den Schenkeln des rechtwinkligen Dreiecks zerschnitten und neu angeordnet werden müssen („Tangram-Stil“), damit sie dem Quadrat auf der Hypotenuse entsprechen. Obwohl seine Originalzeichnung nicht erhalten ist, zeigt die nächste Abbildung eine mögliche Rekonstruktion.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Der Satz des Pythagoras fasziniert die Menschen seit fast 4.000 Jahren; es gibt inzwischen mehr als 300 verschiedene Beweise, u.a. von dem griechischen Mathematiker Pappus von Alexandria (Blütezeit c. 320 n. Chr.), dem arabischen Mathematiker und Physiker Thābit ibn Qurrah (ca. 836-901), dem italienischen Künstler und Erfinder Leonardo da Vinci (1452-1519) und sogar US-Präsident James Garfield (1831-81).