Hermann Weyl eröffnete einen 1930 gehaltenen mathematisch-philosophischen Vortrag mit:
Mathematik ist die Wissenschaft vom Unendlichen.
SymbolEdit
Das Unendlichkeitssymbol ∞ {\displaystyle \infty }
(manchmal auch Lemniskate genannt) ist ein mathematisches Symbol, das den Begriff der Unendlichkeit darstellt. Das Symbol ist im Unicode mit U+221E ∞ INFINITY (HTML∞∞) und in LaTeX als\inftycodiert.
Eingeführt wurde es 1655 von John Wallis, und seit seiner Einführung wird es auch außerhalb der Mathematik in der modernen Mystik und der literarischen Symbolik verwendet.
BerechnungEditieren
Gottfried Leibniz, einer der Miterfinder der Infinitesimalrechnung, spekulierte viel über unendliche Zahlen und ihre Verwendung in der Mathematik. Für Leibniz waren sowohl Infinitesimale als auch unendliche Mengen ideale Gebilde, die nicht von der gleichen Natur wie abschätzbare Mengen waren, aber gemäß dem Gesetz der Kontinuität die gleichen Eigenschaften besaßen.
Reelle AnalysisEdit
In der reellen Analysis wird das Symbol ∞ {\displaystyle \infty }
, auch „Unendlichkeit“ genannt, wird verwendet, um einen unbeschränkten Grenzwert zu bezeichnen. Die Notation x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty }
bedeutet, dass x {\displaystyle x}
unbegrenzt zunimmt, und x → – ∞ {\displaystyle x\to -\infty }
bedeutet, dass x {\displaystyle x}
unbegrenzt abnimmt. Wenn zum Beispiel f ( t ) ≥ 0 {\displaystyle f(t)\geq 0}
für jedes t {\displaystyle t}
, dann
- ∫ a b f ( t ) d t = ∞ {\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }
bedeutet, dass f ( t ) {\displaystyle f(t)}
keinen endlichen Bereich von a {\displaystyle a}
nach b begrenzt. isplaystyle b}
- ∫ – ∞ ∞ f ( t ) d t = ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }
bedeutet, dass die Fläche unter f ( t ) {\displaystyle f(t)}
unendlich ist.
- ∫ – ∞ ∞ f ( t ) d t = a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}
bedeutet, dass die Gesamtfläche unter f ( t ) {\displaystyle f(t)}
endlich ist und gleich a ist. {\displaystyle a.}
Unendlichkeit kann auch zur Beschreibung unendlicher Reihen verwendet werden, wie folgt:
- ∑ i = 0 ∞ f ( i ) = a {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}
bedeutet, dass die Summe der unendlichen Reihe zu einem reellen Wert a konvergiert.
- ∑ i = 0 ∞ f ( i ) = ∞ {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }
bedeutet, dass die Summe der unendlichen Reihe richtig ins Unendliche divergiert, in dem Sinne, dass die Teilsummen unbegrenzt zunehmen.
Neben der Definition einer Grenze kann Unendlich auch als Wert im erweiterten reellen Zahlensystem verwendet werden. Die Punkte sind mit + ∞ beschriftet.
und – ∞ {\displaystyle -\infty }
können dem topologischen Raum der reellen Zahlen hinzugefügt werden, wodurch die Zweipunktkompaktierung der reellen Zahlen entsteht. Wenn man dazu algebraische Eigenschaften hinzufügt, erhält man die erweiterten reellen Zahlen. Wir können auch + ∞ {\displaystyle +\infty }
und – ∞ {\displaystyle -\infty }
als gleich, was zur Ein-Punkt-Kompaktierung der reellen Zahlen führt, die die reelle projektive Linie ist. In der projektiven Geometrie spricht man auch von einer Unendlichkeitsgeraden in der ebenen Geometrie, einer Unendlichkeitsebene im dreidimensionalen Raum und einer Hyperebene in allgemeinen Dimensionen, die jeweils aus Punkten im Unendlichen besteht.
Komplexe AnalysisBearbeiten
In der komplexen Analysis wird das Symbol ∞
, „Unendlichkeit“ genannt, bezeichnet einen vorzeichenlosen unendlichen Grenzwert. x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty }
bedeutet, dass die Größenordnung | x | {\displaystyle |x|}
von x {\displaystyle x}
über jeden zugewiesenen Wert hinaus wächst. Ein Punkt mit der Bezeichnung ∞ {\displaystyle \infty }
kann der komplexen Ebene als topologischer Raum hinzugefügt werden, was die Ein-Punkt-Kompaktierung der komplexen Ebene ergibt. Wenn dies geschieht, ist der resultierende Raum eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit oder Riemannsche Fläche, die als erweiterte komplexe Ebene oder Riemannsche Kugel bezeichnet wird. Arithmetische Operationen, ähnlich denen, die oben für die erweiterten reellen Zahlen angegeben wurden, können ebenfalls definiert werden, obwohl es keine Unterscheidung in den Vorzeichen gibt (was zu der einen Ausnahme führt, dass Unendlichkeit nicht zu sich selbst addiert werden kann). Zum anderen ermöglicht diese Art von Unendlichkeit die Division durch Null, nämlich z / 0 = ∞ {\displaystyle z/0=\infty }
für jede komplexe Zahl z ungleich Null {\displaystyle z}
. In diesem Zusammenhang ist es oft nützlich, meromorphe Funktionen als Abbildungen in die Riemannsche Sphäre zu betrachten, die den Wert von ∞ {\displaystyle \infty }
an den Polen. Der Bereich einer komplexwertigen Funktion kann auch auf den Punkt im Unendlichen erweitert werden. Ein wichtiges Beispiel für solche Funktionen ist die Gruppe der Möbius-Transformationen (siehe Möbius-Transformation § Übersicht).
Nicht-Standard-AnalyseBearbeiten
Die ursprüngliche Formulierung der Infinitesimalrechnung durch Isaac Newton und Gottfried Leibniz verwendete infinitesimale Größen. Im 20. Jahrhundert wurde gezeigt, dass diese Behandlung durch verschiedene logische Systeme auf eine strenge Grundlage gestellt werden kann, darunter die glatte Infinitesimalrechnung und die Nicht-Standard-Analyse. In letzterer sind Infinitesimale invertierbar, und ihre Inversen sind unendliche Zahlen. Die Unendlichkeiten in diesem Sinne sind Teil eines hyperrealen Feldes; es gibt keine Äquivalenz zwischen ihnen wie bei den Cantorschen Transfiniten. Wenn zum Beispiel H eine unendliche Zahl in diesem Sinne ist, dann sind H + H = 2H und H + 1 verschiedene unendliche Zahlen. Dieser Ansatz der Nicht-Standardrechnung wird in Keisler (1986) vollständig entwickelt.
MengenlehreBearbeiten
Eine andere Form von „Unendlichkeit“ sind die ordinalen und kardinalen Unendlichkeiten der Mengenlehre – ein System von transfiniten Zahlen, das zuerst von Georg Cantor entwickelt wurde. In diesem System ist die erste transfinite Kardinalzahl aleph-null (ℵ0), die Kardinalität der Menge der natürlichen Zahlen. Diese moderne mathematische Konzeption des quantitativen Unendlichen entwickelte sich im späten 19. Jahrhundert aus Arbeiten von Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind und anderen – unter Verwendung der Idee von Sammlungen oder Mengen.
Dedekinds Ansatz bestand im Wesentlichen darin, die Idee der Eins-zu-Eins-Korrespondenz als Standard für den Vergleich der Größe von Mengen zu übernehmen und die (von Euklid abgeleitete) Ansicht Galileis zu verwerfen, dass das Ganze nicht die gleiche Größe wie der Teil haben kann (siehe jedoch Galileis Paradoxon, in dem er zu dem Schluss kommt, dass positive quadratische ganze Zahlen die gleiche Größe haben wie positive ganze Zahlen). Eine unendliche Menge kann einfach als eine definiert werden, die die gleiche Größe wie mindestens einer ihrer Teile hat; dieser Begriff der Unendlichkeit wird Dedekind-unendlich genannt. Das Diagramm rechts gibt ein Beispiel: Betrachtet man Linien als unendliche Punktmengen, so kann die linke Hälfte der unteren blauen Linie eins-zu-eins auf die höhere blaue Linie abgebildet werden (grüne Korrespondenzen), und diese wiederum auf die gesamte untere blaue Linie (rote Korrespondenzen); daher haben die gesamte untere blaue Linie und ihre linke Hälfte die gleiche Kardinalität, d.h. „Größe“.
Cantor definierte zwei Arten von unendlichen Zahlen: Ordinalzahlen und Kardinalzahlen. Ordinalzahlen charakterisieren wohlgeordnete Mengen oder das Weiterzählen bis zu einem beliebigen Haltepunkt, also auch bis zu Punkten, nachdem bereits eine unendliche Zahl gezählt wurde. Die Verallgemeinerung endlicher und (gewöhnlicher) unendlicher Folgen, die Abbildungen von den positiven ganzen Zahlen sind, führt zu Abbildungen von Ordinalzahlen auf transfinite Folgen. Kardinalzahlen definieren die Größe von Mengen, d.h. wie viele Glieder sie enthalten, und können normiert werden, indem die erste Ordinalzahl einer bestimmten Größe als Kardinalzahl dieser Größe gewählt wird. Die kleinste ordinale Unendlichkeit ist die der positiven ganzen Zahlen, und jede Menge, die die Kardinalität der ganzen Zahlen hat, ist abzählbar unendlich. Wenn eine Menge zu groß ist, um in Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit den positiven ganzen Zahlen gebracht zu werden, wird sie nicht abzählbar genannt. Cantors Ansichten setzten sich durch und die moderne Mathematik akzeptiert die tatsächliche Unendlichkeit als Teil einer konsistenten und kohärenten Theorie. Bestimmte erweiterte Zahlensysteme, wie die hyperrealen Zahlen, umfassen die gewöhnlichen (endlichen) Zahlen und unendliche Zahlen unterschiedlicher Größe.
Kardinalität des KontinuumsBearbeiten
Eines der wichtigsten Ergebnisse Cantors war, dass die Kardinalität des Kontinuums c {\displaystyle \mathbf {c} }
ist größer als die der natürlichen Zahlen ℵ 0 {\displaystyle {\aleph _{0}}}
; das heißt, es gibt mehr reelle Zahlen R als natürliche Zahlen N. Cantor zeigte nämlich, dass c = 2 ℵ 0 > ℵ 0 {\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}
(siehe Cantors Diagonalargument oder Cantors erster Unabzählbarkeitsbeweis).
Die Kontinuumshypothese besagt, dass es keine Kardinalzahl zwischen der Kardinalität der Reellen und der Kardinalität der natürlichen Zahlen gibt, also c = ℵ 1 = ℶ 1 {\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}
(siehe Beth 1). Diese Hypothese kann innerhalb der weithin akzeptierten Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie weder bewiesen noch widerlegt werden, selbst wenn man das Axiom der Wahl annimmt.
Mit Hilfe der Kardinalarithmetik lässt sich nicht nur zeigen, dass die Anzahl der Punkte auf einer reellen Zahlengeraden gleich der Anzahl der Punkte auf einem beliebigen Segment dieser Geraden ist, sondern auch, dass diese gleich der Anzahl der Punkte in einer Ebene und überhaupt in jedem endlich-dimensionalen Raum ist.
Das erste dieser Ergebnisse zeigt sich z. B. bei der Betrachtung der Tangentenfunktion, die eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen dem Intervall (-π/2, π/2) und R liefert (siehe auch Hilberts Paradoxon vom Grand Hotel). Das zweite Ergebnis wurde 1878 von Cantor bewiesen, wurde aber erst 1890 intuitiv ersichtlich, als Giuseppe Peano die raumfüllenden Kurven einführte, gekrümmte Linien, die sich so weit drehen und wenden, dass sie ein beliebiges Quadrat, einen Würfel, einen Hyperwürfel oder einen endlich-dimensionalen Raum ganz ausfüllen. Diese Kurven können verwendet werden, um eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen den Punkten auf einer Seite eines Quadrats und den Punkten im Quadrat zu definieren.
GeometryEdit
Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts wurde die Unendlichkeit in der Geometrie selten diskutiert, außer im Zusammenhang mit Prozessen, die unbegrenzt fortgesetzt werden konnten. Zum Beispiel war eine Linie das, was man heute ein Liniensegment nennt, mit der Maßgabe, dass man sie beliebig weit verlängern kann; aber eine unendliche Verlängerung kam nicht in Frage. Ebenso wurde eine Linie normalerweise nicht als aus unendlich vielen Punkten zusammengesetzt betrachtet, sondern als ein Ort, an dem ein Punkt platziert werden kann. Auch wenn es unendlich viele mögliche Positionen gibt, konnte nur eine endliche Anzahl von Punkten auf eine Linie gesetzt werden. Ein Zeuge davon ist der Ausdruck „der Ort eines Punktes, der eine Eigenschaft erfüllt“ (Singular), wo moderne Mathematiker im Allgemeinen sagen würden „die Menge der Punkte, die die Eigenschaft haben“ (Plural).
Eine der seltenen Ausnahmen eines mathematischen Konzepts, das tatsächliche Unendlichkeit beinhaltet, war die projektive Geometrie, wo Punkte im Unendlichen dem euklidischen Raum hinzugefügt werden, um den perspektivischen Effekt zu modellieren, der parallele Linien zeigt, die sich „im Unendlichen“ schneiden. Mathematisch gesehen haben Punkte im Unendlichen den Vorteil, dass man einige Spezialfälle nicht berücksichtigen muss. Zum Beispiel schneiden sich in einer projektiven Ebene zwei unterschiedliche Linien in genau einem Punkt, während es ohne Unendlichkeitspunkte keine Schnittpunkte für parallele Linien gibt. Daher müssen parallele und nicht-parallele Linien in der klassischen Geometrie getrennt untersucht werden, während sie in der projektiven Geometrie nicht unterschieden werden müssen.
Vor der Verwendung der Mengenlehre als Grundlage der Mathematik wurden Punkte und Linien als unterschiedliche Entitäten betrachtet, und ein Punkt konnte auf einer Linie liegen. Mit der universellen Verwendung der Mengenlehre in der Mathematik hat sich die Sichtweise drastisch geändert: Eine Linie wird nun als die Menge ihrer Punkte betrachtet, und man sagt, dass ein Punkt zu einer Linie gehört, anstatt auf einer Linie zu liegen (letztere Formulierung wird jedoch immer noch verwendet).
In der modernen Mathematik sind Linien insbesondere unendliche Mengen.
Unendliche Dimension
Die Vektorräume, die in der klassischen Geometrie vorkommen, haben immer eine endliche Dimension, im Allgemeinen zwei oder drei. Dies wird jedoch durch die abstrakte Definition eines Vektorraums nicht impliziert, und es können Vektorräume mit unendlicher Dimension betrachtet werden. Dies ist typischerweise der Fall in der Funktionalanalysis, wo Funktionsräume im Allgemeinen Vektorräume unendlicher Dimension sind.
In der Topologie können einige Konstruktionen topologische Räume unendlicher Dimension erzeugen. Dies ist insbesondere bei iterierten Schleifenräumen der Fall.
FraktaleBearbeiten
Die Struktur eines fraktalen Objekts wird in seinen Vergrößerungen wiedergegeben. Fraktale können unendlich vergrößert werden, ohne ihre Struktur zu verlieren und „glatt“ zu werden; sie haben unendliche Umfänge und können unendliche oder endliche Flächen haben. Eine solche fraktale Kurve mit unendlichem Umfang und endlicher Fläche ist die Koch’sche Schneeflocke.
Mathematik ohne Unendlichkeit
Leopold Kronecker war in den 1870er und 1880er Jahren skeptisch gegenüber dem Begriff der Unendlichkeit und der Art und Weise, wie seine Mathematiker-Kollegen ihn verwendeten. Dieser Skeptizismus wurde in der Philosophie der Mathematik entwickelt, die als Finitismus bezeichnet wird, eine extreme Form der mathematischen Philosophie in den allgemeinen philosophischen und mathematischen Schulen des Konstruktivismus und Intuitionismus.