Verzögerungsparameter

Der Verzögerungsparameter q {\displaystyle q} ist in der Kosmologie ein dimensionsloses Maß für die kosmische Beschleunigung der Expansion des Raumes in einem Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Universum. Es ist definiert durch:

q = d e f – a ¨ a ˙ 2 {\displaystyle q\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} -{\frac {{\ddot {a}}a}{{\dot {a}}^{2}}}}

wobei a {\displaystyle a} der Skalenfaktor des Universums ist und die Punkte Ableitungen nach der Eigenzeit angeben. Die Expansion des Universums wird als „beschleunigt“ bezeichnet, wenn a ¨ > 0 {\displaystyle {\ddot {a}}> (jüngste Messungen deuten darauf hin), und in diesem Fall wird der Verzögerungsparameter negativ sein. Das Minuszeichen und die Bezeichnung „Verzögerungsparameter“ sind historisch bedingt; zum Zeitpunkt der Definition war a ¨ {\displaystyle {\ddot {a}} wurde erwartet, negativ zu sein, also wurde ein Minuszeichen in die Definition eingefügt, um q {\displaystyle q} in diesem Fall positiv ist. Seit dem Nachweis des sich beschleunigenden Universums in der Ära 1998-2003 glaubt man nun, dass a ¨ {\displaystyle {\ddot {a}} positiv ist und somit der heutige Wert q 0 {\displaystyle q_{0}} negativ ist (obwohl q {\displaystyle q} in der Vergangenheit positiv war, bevor die dunkle Energie dominant wurde). Im Allgemeinen ist q {\displaystyle q} mit der kosmischen Zeit variiert, außer in einigen speziellen kosmologischen Modellen; der heutige Wert wird mit q 0 {\displaystyle q_{0}} bezeichnet .

Die Friedmann-Beschleunigungsgleichung kann geschrieben werden als

a ¨ a = – 4 π G 3 ∑ i ( ρ i + 3 p i c 2 ) = – 4 π G 3 ∑ i ρ i ( 1 + 3 w i ) , {\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\sum _{i}(\rho _{i}+{\frac {3\,p_{i}}{c^{2}})=-{\frac {4\pi G}{3}}\sum _{i}\rho _{i}(1+3w_{i}),}

wobei die Summe i {\displaystyle i} sich über die verschiedenen Komponenten, Materie, Strahlung und dunkle Energie, ρ i {\displaystyle \rho _{i}} ist die äquivalente Massendichte der einzelnen Komponenten, p i {\displaystyle p_{i}} ist ihr Druck, und w i = p i / ( ρ i c 2 ) {\displaystyle w_{i}=p_{i}/(\rho _{i}c^{2})} ist die Zustandsgleichung für jede Komponente. Der Wert von w i {\displaystyle w_{i}} ist 0 für nichtrelativistische Materie (Baryonen und dunkle Materie), 1/3 für Strahlung und -1 für eine kosmologische Konstante; für allgemeinere dunkle Energie kann er von -1 abweichen, in diesem Fall wird er mit w D E {\displaystyle w_{DE}} oder einfach w {\displaystyle w} .

Definiert man die kritische Dichte als

ρ c = 3 H 2 8 π G {\displaystyle \rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}

und die Dichteparameter Ω i ≡ ρ i / ρ c {\displaystyle \Omega _{i}\equiv \rho _{i}/\rho _{c}} , Substitution von ρ i = Ω i ρ c {\displaystyle \rho _{i}=\Omega _{i}\,\rho _{c}} in der Beschleunigungsgleichung ergibt

q = 1 2 ∑ Ω i ( 1 + 3 w i ) = Ω r a d ( z ) + 1 2 Ω m ( z ) + 1 + 3 w D E 2 Ω D E ( z ) . {\displaystyle q={\frac {1}{2}}\sum \Omega _{i}(1+3w_{i})=\Omega _{rad}(z)+{\frac {1}{2}}\Omega _{m}(z)+{\frac {1+3w_{DE}}{2}}\Omega _{DE}(z)\ .}

wobei die Dichteparameter in der jeweiligen kosmischen Epoche liegen. In der heutigen Zeit ist Ω r a d ∼ 10 – 4 {\displaystyle \Omega _{rad}\sim 10^{-4}} ist vernachlässigbar, und wenn w D E = – 1 {\displaystyle w_{DE}=-1} (kosmologische Konstante), vereinfacht sich dies zu

q 0 = 1 2 Ω m – Ω Λ . {\displaystyle q_{0}={\frac {1}{2}}\Omega _{m}-\Omega _{\Lambda }.}

wobei die Dichteparameter heutige Werte sind; mit ΩΛ + Ωm ≈ 1, und ΩΛ = 0.7 und dann Ωm = 0,3, ergibt dies q 0 ≈ – 0,55 {\displaystyle q_{0}\approx -0,55} für die aus den Daten der Planck-Sonde geschätzten Parameter. (Beachten Sie, dass das CMB, als eine Hochverschiebungsmessung, nicht direkt q 0 {\displaystyle q_{0}} ; aber sein Wert kann abgeleitet werden, indem kosmologische Modelle an die CMB-Daten angepasst und dann q 0 {\displaystyle q_{0}} berechnet werden aus den anderen gemessenen Parametern wie oben).

Die zeitliche Ableitung des Hubble-Parameters kann in Bezug auf den Verzögerungsparameter geschrieben werden:

H ˙ H 2 = – ( 1 + q ) . {\displaystyle {\frac {\dot {H}}{H^{2}}}=-(1+q).}

Außer im spekulativen Fall der Phantomenergie (die alle Energiebedingungen verletzt), ergeben alle postulierten Formen der Massenenergie einen Verzögerungsparameter q ⩾ – 1. q ⩾ -1. Somit sollte jedes Nicht-Phantom-Universum einen abnehmenden Hubble-Parameter haben, außer im Fall der fernen Zukunft eines Lambda-CDM-Modells, wo q {\displaystyle q} von oben nach -1 tendieren wird und der Hubble-Parameter asymptotisch zu einem konstanten Wert von H 0 Ω Λ {\displaystyle H_{0}{\sqrt {\Omega _{\Lambda }}}} .

Die obigen Ergebnisse implizieren, dass sich das Universum für jedes kosmische Fluid mit der Zustandsgleichung w {\displaystyle w} verlangsamen würde größer als – 1 3 {\displaystyle -{\tfrac {1}{3}}} (jede Flüssigkeit, die die Bedingung der starken Energie erfüllt, tut dies, ebenso wie jede Form von Materie, die im Standardmodell vorkommt, aber ohne Inflation). Beobachtungen von entfernten Supernovae vom Typ Ia zeigen jedoch, dass q {\displaystyle q} negativ ist; die Expansion des Universums beschleunigt sich. Dies ist ein Hinweis darauf, dass die gravitative Anziehungskraft der Materie auf der kosmologischen Skala durch den negativen Druck der dunklen Energie mehr als ausgeglichen wird, entweder in Form von Quintessenz oder einer positiven kosmologischen Konstante.

Vor den ersten Hinweisen auf ein sich beschleunigendes Universum, im Jahr 1998, dachte man, dass das Universum von Materie mit vernachlässigbarem Druck, w ≈ 0, dominiert wird. Dies implizierte, dass der Verzögerungsparameter gleich Ω m / 2 {\displaystyle \Omega _{m}/2} wäre, z.z. B. q 0 = 1 / 2 {\displaystyle q_{0}=1/2} für ein Universum mit Ω m = 1 {\displaystyle \Omega _{m}=1} oder q 0 ∼ 0,1 {\displaystyle q_{0}\sim 0,1} für ein Null-Lambda-Modell mit geringer Dichte. Der experimentelle Versuch, diese Fälle mit Supernovae zu diskriminieren, ergab tatsächlich negative q 0 ∼ – 0,6 ± 0,2 {\displaystyle q_{0}\sim -0,6\pm 0,2} , ein Beweis für die kosmische Beschleunigung, der sich in der Folge noch verstärkt hat.