Una 𝑛 ⨯ 𝑛 matriz cuadrada 𝑸 se dice que es una matriz ortogonal si sus 𝑛 vectores columna y fila son vectores unitarios ortogonales. Más concretamente, cuando sus vectores columna tienen la longitud de uno, y son ortogonales por pares; lo mismo para los vectores fila.
Esto lleva a la siguiente caracterización de que una matriz 𝑸 se convierte en ortogonal cuando su transposición es igual a su matriz inversa.
- ¿Por qué la matriz inversa de 𝑸 es su transpuesta?
Propiedades de las matrices ortogonales
- 2.1 Toda matriz ortogonal es invertible
- 2.2.- El producto de matrices ortogonales es invertible.2 El producto de matrices ortogonales es también ortogonal
- 2.3 El determinante de las matrices ortogonales
El determinante de una matriz ortogonal es igual a 1 o -1. Ya que det(A) = det(Aᵀ) y el determinante del producto es el producto de determinantes cuando A es una matriz ortogonal.
- 2.4 Preservación de longitudes y ángulos
- 2.5 Las matrices ortogonales representan una rotación
Como se demuestra en las figuras anteriores, la transformación ortogonal mantiene las longitudes y los ángulos sin cambios. Además, su determinante es siempre 1 o -1, lo que implica el factor de escala del volumen. En otras palabras, la transformación ortogonal deja intactos los ángulos y las longitudes, y no cambia el volumen del paralelepípedo. De estos hechos, podemos deducir que la transformación ortogonal significa en realidad una rotación.
Referencia
https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix
https://www.quora.com/Why-do-orthogonal-matrices-represent-rotations
https://byjus.com/maths/orthogonal-matrix/
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m251f10/m251s10orthogonal.pdf
https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate-bases/orthonormal-basis/v/lin-alg-orthogonal-matrices-preserve-angles-and-lengths