El muestreo se define como, «El proceso de medir los valores instantáneos de la señal de tiempo continuo en una forma discreta.»
La muestra es un trozo de datos tomados de la totalidad de los datos que son continuos en el dominio del tiempo.
Cuando una fuente genera una señal analógica y si esta tiene que ser digitalizada, teniendo 1s y 0s es decir, Alto o Bajo, la señal tiene que ser discretizada en el tiempo. Esta discretización de la señal analógica se llama Muestreo.
La siguiente figura indica una señal de tiempo continuo x (t) y una señal muestreada xs (t). Cuando x (t) se multiplica por un tren de impulsos periódico, se obtiene la señal muestreada xs (t).
Tasa de muestreo
Para discretizar las señales, se debe fijar el hueco entre las muestras. Ese intervalo se puede denominar periodo de muestreo Ts.
$Sampling \N: Frecuencia = \frac{1}{T_{s}} = f_s$
Donde,
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$T_{s}$ es el tiempo de muestreo
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$f_{s}$ es la frecuencia de muestreo o la tasa de muestreo
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$f_{S}$ es la tasa de muestreo
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W es la frecuencia más alta
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$f_{s}$ es la frecuencia de muestreo
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W es la frecuencia más alta
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En la sección de transmisión del PCM, se emplea un filtro antialiasing de paso bajo, antes del muestreador, para eliminar las componentes de alta frecuencia, que son indeseadas.
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La señal que se muestrea después del filtrado, se muestrea a una tasa ligeramente superior a la tasa de Nyquist.
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La transformada de Fourier es la extensión de la serie de Fourier para señales no periódicas.
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La transformada de Fourier es una poderosa herramienta matemática que ayuda a ver las señales en diferentes dominios y ayuda a analizar las señales fácilmente.
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Cualquier señal puede ser descompuesta en términos de suma de senos y cosenos utilizando esta transformada de Fourier.
La frecuencia de muestreo es el recíproco del periodo de muestreo. Esta frecuencia de muestreo, puede ser llamada simplemente como Tasa de muestreo. La tasa de muestreo denota el número de muestras tomadas por segundo, o para un conjunto finito de valores.
Para que una señal analógica sea reconstruida a partir de la señal digitalizada, la tasa de muestreo debe ser altamente considerada. La tasa de muestreo debe ser tal que los datos de la señal del mensaje no se pierdan ni se superpongan. Por lo tanto, se fijó una tasa para esto, llamada tasa de Nyquist.
Tasa de Nyquist
Supongamos que una señal es de banda limitada sin componentes de frecuencia superiores a W Hertz. Es decir, W es la frecuencia más alta. Para una señal de este tipo, para una reproducción efectiva de la señal original, la tasa de muestreo debe ser el doble de la frecuencia más alta.
Es decir,
$f_{S} = 2W$
Donde,
Esta tasa de muestreo se denomina tasa de Nyquist.
Sobre la teoría de esta tasa de Nyquist se estableció un teorema llamado, Teorema del Muestreo.
Teorema del muestreo
El teorema del muestreo, que también se llama teorema de Nyquist, ofrece la teoría de la tasa de muestreo suficiente en términos de ancho de banda para la clase de funciones que son de banda limitada.
El teorema del muestreo establece que, «una señal puede ser reproducida exactamente si se muestrea a la tasa fs que es mayor que el doble de la frecuencia máxima W.»
Para entender este teorema del muestreo, consideremos una señal de banda limitada, es decir, una señal cuyo valor es distinto de cero entre unos -W y W Hertz.
Dicha señal se representa como $x(f) = 0 para |f\lvert > W$
Para la señal de tiempo continuo x (t), la señal limitada en banda en el dominio de la frecuencia, puede representarse como se muestra en la siguiente figura.
Necesitamos una frecuencia de muestreo, una frecuencia en la que no debe haber pérdida de información, incluso después del muestreo. Para ello, tenemos la tasa de Nyquist que la frecuencia de muestreo debe ser dos veces la frecuencia máxima. Es la tasa crítica de muestreo.
Si la señal x(t) se muestrea por encima de la tasa de Nyquist, se puede recuperar la señal original, y si se muestrea por debajo de la tasa de Nyquist, no se puede recuperar la señal.
La siguiente figura explica una señal, si se muestrea a una tasa superior a 2w en el dominio de la frecuencia.
La figura anterior muestra la transformada de Fourier de una señal $x_{s}(t)$. Aquí, la información se reproduce sin ninguna pérdida. No hay mezcla y por lo tanto la recuperación es posible.
La transformada de Fourier de la señal $x_{s}(t)$ es
$X_{s}(w) = \frac{1}{T_{s}}suma_{n = – \infty}^\infty X(w-nw_0)$
Donde $T_{s}$ = Período de muestreo y $w_{0} = \frac{2 \pi}{T_s}$
Veamos qué ocurre si la frecuencia de muestreo es igual al doble de la frecuencia más alta (2W)
Es decir,
$f_{s} = 2W$
Donde,
El resultado será el mostrado en la figura anterior. La información se sustituye sin ninguna pérdida. Por lo tanto, esta es también una buena tasa de muestreo.
Ahora, vamos a ver la condición,
$f_{s} El patrón resultante se verá como la siguiente figura.
Podemos observar en el patrón anterior que la superposición de la información se hace, lo que conduce a la mezcla y la pérdida de información. Este fenómeno indeseado de superposición se denomina Aliasing.
Aliasing
El Aliasing se puede denominar como «el fenómeno de un componente de alta frecuencia en el espectro de una señal, que toma la identidad de un componente de baja frecuencia en el espectro de su versión muestreada.»
Las medidas correctoras que se toman para reducir el efecto del Aliasing son –
Esta elección de tener la tasa de muestreo superior a la tasa de Nyquist, también ayuda a un diseño más fácil del filtro de reconstrucción en el receptor.
Alcance de la transformada de Fourier
En general se observa que, buscamos la ayuda de las series de Fourier y las transformadas de Fourier para analizar las señales y también para demostrar teoremas. Esto se debe a que –
En el próximo capítulo, vamos a discutir sobre el concepto de Cuantización.