El conmutador de dos elementos a y b de un anillo (incluyendo cualquier álgebra asociativa) se define por
= a b – b a .
Es cero si y sólo si a y b conmutan. En álgebra lineal, si dos endomorfismos de un espacio están representados por matrices conmutativas en términos de una base, entonces lo están en términos de cada base. Utilizando el conmutador como un soporte de Lie, toda álgebra asociativa puede convertirse en un álgebra de Lie.
El anticomutador de dos elementos a y b de un anillo o un álgebra asociativa se define por
{ a , b } = a b + b a . {\displaystyle \a,b\}=ab+ba.}
A veces + {{desde el estilo _{+}}
se utiliza entonces para el conmutador. El anticonmutador se utiliza con menos frecuencia, pero puede usarse para definir álgebras de Clifford y álgebras de Jordan, y en la derivación de la ecuación de Dirac en física de partículas.
El conmutador de dos operadores que actúan en un espacio de Hilbert es un concepto central en la mecánica cuántica, ya que cuantifica lo bien que pueden medirse simultáneamente los dos observables descritos por estos operadores. El principio de incertidumbre es, en última instancia, un teorema sobre dichos conmutadores, en virtud de la relación Robertson-Schrödinger. En el espacio de fase, los conmutadores equivalentes de los productos-estrella de funciones se denominan corchetes de Moyal, y son completamente isomorfos a las estructuras de conmutadores del espacio de Hilbert mencionadas.
Identidades (teoría de anillos)
El conmutador tiene las siguientes propiedades:
Identidades de las álgebras de LieEditar
- = + {{displaystyle =+}
- = 0 {{displaystyle =0}.
- = – {\displaystyle =-}
- ] + ] + ] = 0 {\displaystyle ]+]+]=0}
![{{displaystyle ]+]+]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046dbc0d4387302c8d321afb443e35bc1890fcac)
La relación (3) se llama anticomutatividad, mientras que (4) es la identidad de Jacobi.
Identidades adicionalesEditar
Si A es un elemento fijo de un anillo R, la identidad (1) puede interpretarse como una regla de Leibniz para el mapa ad A : R → R {\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R{rightarrow R}
. En otras palabras, el mapa adA define una derivación en el anillo R. Las identidades (2), (3) representan reglas de Leibniz para más de dos factores, y son válidas para cualquier derivación. Las identidades (4)-(6) también pueden interpretarse como reglas de Leibniz. Las identidades (7), (8) expresan la Z-bilinealidad.
Algunas de las identidades anteriores pueden extenderse al anticomutador utilizando la notación de subíndice ± anterior.Por ejemplo:
- ± = A – + ± B {{displaystyle _{pm }=A_{-}+_{pm }B}
- ± = A – D + A C – + – D B + C ± B {{displaystyle _{\pm }=A_{-}D+AC_{-}+_{-}DB+C_{\pm }B}
] + ± ] + ± ] = 0 {\displaystyle \\\_left_{\pm }\right]+\left_{\pm }\right]+\_left_{\pm }\right]=0}
- ± = – C + B ± {{displaystyle _{\pm }=_{-}C+B_{\pm }}
- = ± C ∓ B ± {\displaystyle =_{\pm }C\mp B_{\pm }} ¡
Identidades exponencialesEditar
Considere un anillo o álgebra en el que la exponencial e A = exp ( A ) = 1 + A + 1 2 ! A 2 + ⋯ {\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }
puede definirse con sentido, como un álgebra de Banach, un anillo de series de potencias formales, o el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie. ¡
En tal anillo, el lema de Hadamard aplicado a los conmutadores anidados da: e A B e – A = B + + 1 2 ! ] ¡+ 1 3 ! ] ] + ⋯ = e ad A ( B ) . {\displaystyle e^{A}Be^{-A}} =\ B++{\frac {1}{2!}}]+{\frac {1}{3!}}]+\cdots \ =\ e^{operatorname {ad}} (B).
Una expansión similar expresa el conmutador de grupo de las expresiones e A {\displaystyle e^{A}}.
(análogo a los elementos de un grupo de Lie) en términos de una serie de conmutadores anidados (corchetes de Lie), e A e B e – A e – B {\displaystyle e^{A}e^{B}e^{A}e^{-B}}
![{{displaystyle \\ft_{pm }\right]+{left_{pm }\right]+{left_{pm }\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa38c6ec51fd44c85b6a7dd7820d8ebaee4f2cf)
