Frecuencia de corte: ¿Qué es? Ecuación y cómo encontrarla

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Qué es la frecuencia de corte?

La frecuencia de corte (también conocida como frecuencia de esquina, o frecuencia de ruptura) se define como un límite en la respuesta de frecuencia de un sistema en el que la energía que fluye a través del sistema comienza a ser atenuada (reflejada o reducida) en lugar de pasar.

La frecuencia de corte o frecuencia de esquina en electrónica es la frecuencia por encima o por debajo de la cual la potencia de salida de un circuito, como una línea, un amplificador o un filtro electrónico (por ejemplo, un filtro de paso alto) ha caído a una proporción determinada de la potencia en la banda de paso.

La mayoría de las veces esta proporción es la mitad de la potencia de la banda de paso, también conocida como el punto de 3 dB ya que una caída de 3 dB corresponde aproximadamente a la mitad de la potencia. Como relación de voltaje, se trata de una caída de aproximadamente 0,707.

Para cualquier circuito de filtrado, como los circuitos RC, la frecuencia de corte es una característica muy importante. En este punto, la cantidad de atenuación debida al filtro comienza a aumentar rápidamente.

Para indicar cuánto tiempo puede permanecer constante la ganancia del amplificador con respecto a la frecuencia, necesitamos definir un rango de frecuencias. Junto a ese rango, la ganancia no debe desviarse más del 70,7% de la ganancia máxima que se ha definido como referencia a media frecuencia. En la curva que se muestra a continuación, f1 y f2 indican las frecuencias de corte inferior y superior.

Ancho de banda

En el procesamiento de señales, el ancho de banda se define como la diferencia entre la frecuencia de corte superior y la frecuencia de corte inferior. La frecuencia f2 se encuentra en un rango de alta frecuencia y f1 en el rango de baja frecuencia. También podemos denominar estas dos frecuencias como frecuencias de media potencia, ya que la ganancia de tensión cae al 70,7 % del valor máximo.

Esto representa el nivel de potencia de una – mitad de la potencia a la frecuencia de referencia en la frecuencia de media potencia. Como el cambio no es perceptible, el amplificador de audio tiene una respuesta plana de f1 a f2.

Ancho de banda de la frecuencia de corte

Ecuación de la frecuencia de corte

La fórmula de la frecuencia de corte (frecuencia de esquina) es

${begin{align*}f_{c}={frac{1}{2\pi RC}{end{align*}$

donde R y C son los valores de Resistencia y Capacitancia. Para un filtro paso bajo RC simple, el corte (punto 3dB) se define como cuando la resistencia es de la misma magnitud que la reactancia capacitiva

Unidad de decibelios

La ganancia se suele expresar en decibelios. La unidad de decibelios surge de la respuesta logarítmica del oído humano a la intensidad del sonido. Por lo tanto, el decibelio se da como medida logarítmica de la relación de una potencia a otra, también se puede expresar como una relación de un voltaje a otro.

Generalmente, la salida de voltaje o la ganancia de voltaje de un amplificador se expresa en decibelios (dB) que viene dada por La ganancia de voltaje en dB es .

La ganancia de potencia del amplificador se expresa en decibelios (dB) que viene dada por La ganancia de potencia en dB es

Cuando Av es mayor que uno, se dice que la ganancia en dB es positiva. Representa la amplificación. Cuando Av es menor que uno, los dB son negativos. Representa la atenuación.

En amplificadores bajo pocas circunstancias, el valor de la ganancia puede ser asignado con 0 dB de referencia. En tal situación significa que la ganancia de referencia se utiliza como referencia que se utiliza para comparar otros valores de ganancia.

Los amplificadores muestran una ganancia máxima en el rango de frecuencias medias y una ganancia reducida en el rango de frecuencias bajas. La ganancia máxima se denomina rango de frecuencias medias con un valor de 0 dB. Cuando el valor de la ganancia está por debajo del rango de frecuencias medias, se expresa como un valor negativo de dB.

Cómo encontrar la frecuencia de corte

Hay muchos métodos por los que se puede calcular la frecuencia de corte.

Frecuencia de corte a partir de la función de transferencia

El análisis de un circuito con una frecuencia alterada de fuentes sinusoidales se denomina respuesta en frecuencia de un circuito. La función de transferencia de un circuito se define como la relación entre la tensión de salida y la tensión de entrada en el dominio s.

${begin{equation*} H(s)=\frac{V_{0}(s)}{V_{i}(s)} \end{equation*}$

Cuando se utiliza una fuente sinusoidal, la función de transferencia vendrá dada como la magnitud y fase de la tensión de salida a la magnitud y fase de la tensión de entrada en un circuito. En tal caso, se utilizará $j\aomega$ en lugar de s.

$\aquí. H(s)=\frac{V_{0}(j\omega)}{V_{i}(j\omega)} \fin{align*}$

Por ejemplo, consideremos la función de transferencia

${begin{align*} H(s)=\frac{20(s+10)}{s+100)}{end{align*}$

Para obtener la frecuencia de esquina a partir de la ecuación anterior, H(s) puede sustituirse como

$\begin{align*} H(s)=\frac{2(1+s/10))}{1+(s/100))}{end{align*}$

${comenzar{align*} 2(1+(s/10)) \frac{1}{(1+(s/100))}\frac H_{1}(s)H_{2}(s) \end{align*}$

Entonces, a partir de esta ecuación, la frecuencia de esquina se calcula como $\omega_{01}(s)=10 rad/s$ y $\omega_{02}(s)=100 rad/s$ . Para elegir el rango de frecuencias, debemos considerar los valores de la frecuencia de esquina.

Frecuencia de corte a partir del diagrama de Bode

Un gráfico que se utiliza habitualmente en la ingeniería de sistemas de control para determinar la estabilidad de un sistema de control se conoce como diagrama de Bode. El diagrama de Bode esboza la respuesta en frecuencia del sistema mediante dos gráficos: el diagrama de magnitud de Bode (muestra la magnitud en decibelios) y el diagrama de fase de Bode (muestra el desplazamiento de fase en grados).

En el gráfico de Bode, la frecuencia de esquina se define como la frecuencia en la que las dos asíntotas se encuentran o se cortan entre sí.

La función de transferencia $H(s)=\frac{V_{0}(s)}{V_{i}(s)}$ de un sistema lleva una amplia información sobre la ganancia y la estabilidad del sistema. Los gráficos de Bode dan una imagen estimada de un
a partir de la cual se puede
alcanzar una idea justa de la ganancia del sistema y de sus propiedades de estabilidad.

Ploteo de Bode — Ejemplo de un gráfico de Bode

Frecuencia de corte de un filtro paso bajo

Un filtro paso bajopass filter es un circuito que permite las señales de baja frecuencia y detiene las de alta frecuencia. Todos los filtros de paso bajo tienen una determinada frecuencia de corte, por encima de la cual la tensión de salida cae por debajo del 70,7% de su tensión de entrada. La frecuencia en la que la respuesta de magnitud es 3 dB menor que el valor a 0 Hz, se conoce como Frecuencia de Corte de un filtro paso bajo.

Por ejemplo, si un filtro capacitivo de paso bajo tiene $R=500\Omega$ y $C=7\mu F$ , ¿a qué frecuencia la salida será del 70.7%?

Un simple filtro capacitivo de paso bajo con una resistencia y un condensador tiene una frecuencia de corte de $f_{c}=\frac{1}{2\pi RC}$ . Sustituyendo los valores correspondientes de R y C, la frecuencia de corte sería de 45,473 Hz. Por lo tanto, la salida será del 70,7% a 45,473 Hz.

Cuando se traza el diagrama de Bode para un filtro paso bajo, como se muestra en la imagen siguiente, la respuesta en frecuencia del filtro parece ser casi plana para las frecuencias bajas.

Hasta que se alcanza el punto de frecuencia de corte, todas las señales de entrada pasan directamente a la salida, lo que resulta en una ganancia unitaria. Esto ocurre cuando la reactancia del condensador es grande a bajas frecuencias e impide cualquier flujo de corriente a través del condensador. La respuesta del circuito disminuye a cero con una pendiente de -20dB/ Década «roll-off» después de este punto de frecuencia de corte.

El punto de frecuencia en el que la reactancia y la resistencia capacitiva son iguales se conoce como la frecuencia de corte de un filtro paso bajo. En la frecuencia de corte, la señal de salida se atenúa hasta el 70,7% del valor de la señal de entrada o -3dB de la entrada.

Consideremos un filtro pasabajos de primer orden con una función trasnfer

$\begin{align*} T(s)=\frac{a_{0}}{s+\omega _{0}} \end{align*}$

Reformular la ecuación anterior dividiendo numerador y denominador por RC

$\begin{align*}T(s)=\frac{1}{1+sRC}\end{align*}$

$\begin{align*}T(s)=\frac{1/RC}{s+1/RC}\end{align*}$

Hence, $a_{0}=1/RC$ y $\omega_{0}=1/RC$ , donde $\omega_{0}$ es la frecuencia de corte.

Para tener una mejor comprensión de la frecuencia de corte, convierta la función de transferencia del dominio s estándar en el formato equivalente $j\omega$ .

$\begin{align*}T(s)=\frac{K}{1+s/\omega _{0}}end{align*}$

$\begin{align*}T(j\omega)=\frac{K}{1+\j{\frac{\omega}{\omega_{0}}}}\end{align*}$

Now, evaluemos esta expresión a la frecuencia de corte

$\begin{align*}T(j\omega=j\omega_{0})=\frac{K}{1+\j{\frac{\omega}{\omega_{0}}}}=\frac{K}{1+j}\end{align*}$

Denomiantor being a complex number, hay que calcular la magnitud.

$\N- Inicio{align*} |T(j\omega=j\omega_{0}) |right |=\frac{K}{{sqrt{1^{2}}+1^{2}}=\frac{K}{sqrt{2}{end{align*}$

K es la ganancia de CC. Cuando la frecuencia de entrada aumenta hasta la frecuencia de corte, la amplitud de salida será $\frac{K}{cuadrado{2}$ . El valor $\frac{1}{{sqrt{2}}$ corresponde a -3dB que no es otra cosa que la frecuencia de corte.

Este análisis de la función de transferencia ha demostrado claramente que la frecuencia de corte no es más que la frecuencia a la que la respuesta de amplitud del filtro disminuye en 3 dB, lo que corresponde a la respuesta de amplitud de muy baja frecuencia.

Frecuencia de corte de un filtro de paso alto

Un filtro de paso alto pasa señales con una frecuencia mayor que una frecuencia de corte especificada. Atenúa las señales con frecuencias inferiores a esa frecuencia de corte.

La función de transferencia se deriva en las siguientes ecuaciones.

$\begin{align*} Z_{R}=R \; \; and\; \; Z_{C}=\frac{1}{sC} \end{align*}$

La impedancia de salida viene dada como

$begin{align*}Z_{out}=Z_{R}{end{align*}$

La impedancia de entrada viene dada como

${begin{align*}Z_{in}=Z_{R}+Z_{C}{end{align*}$

La función de transferencia de un filtro paso alto se define como la relación entre la tensión de salida y la tensión de entrada.

$\begin{align*}\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{Z_{out}}{Z_{in}}\end{align*}$

$\begin{align*} =\frac{Z_{R}}{Z_{R}+Z_{C}}\end{align*}$

$\begin{align*}=\frac{R}{R+\frac{1}{sC}}\end{align*}$

$\begin{align*}=\frac{sCR}{sCR+1}T(S)\end{align*}$

$\begin{align*}=\frac{s}{s+\frac{1}{RC}}end{align*}$

Al comparar la ecuación anterior con la forma estándar de la función de transferencia,

$\begin{align*}T(s)=\frac{a_{1}s}{s+\omega _{0}}end{align*}$

$a_{1}$ es la amplitud de la señal

$\omega _{0}$ es la frecuencia de corte angular

La frecuencia de corte se conoce como una frecuencia que crea un límite entre la banda de paso y la de parada. Si la frecuencia de la señal es mayor que la frecuencia de corte para un filtro de paso alto, entonces hará que la señal pase. La ecuación de la frecuencia de corte para el filtro de paso alto de primer orden es la misma que la del filtro de paso bajo.

$\begin{align*}f_{c}=\frac{1}{2\pi RC}\end{align*}$

Frecuencia de corte de un filtro paso banda

El filtro paso banda consta de dos frecuencias de corte. El filtro pasa banda está formado por un filtro pasa alto y otro pasa bajo. La primera frecuencia de corte es de un filtro paso alto, conocida como la frecuencia de corte superior. Esta frecuencia de corte se conoce como fc alta.

Frecuencia de corte de un filtro pasa banda

${begin{align*}FC_{high}={frac{1}{2\pi R_{1}C_{1}{end{align*}$

La segunda frecuencia de corte es del filtro paso bajo conocida como frecuencia de corte inferior. Esta frecuencia de corte se conoce como fc baja.

$\begin{align*}FC_{low}=\frac{1}{2\pi R_{2}C_{2}}\end{align*}$

El ancho de banda se da como el rango entre estas frecuencias. Para un filtro de paso alto, la frecuencia de corte definirá el valor inferior del ancho de banda. Para un filtro de paso bajo, la frecuencia de corte definirá el valor más alto del ancho de banda.

Frecuencia de corte del circuito RL

Considere un circuito RL simple como el que se muestra a continuación.

La función de transferencia para el misma está dada como

$\begin{align*}\frac{V_{0}(s)}{V_{i}(s)}=\frac{R}{sL+R}end{align*}$

$\begin{align*}H(s)=\frac{{R}{L}}{S+\frac{R}{L}}end{align*}$

Sustituir $s=j\omega$ en la ecuación anterior para calcular la respuesta en frecuencia

$\begin{align*}H(j\omega)=\frac{\frac{R}{L}}{j\omega+\frac{R}{L}}\end{align*}$

La respuesta en magnitud es

$\begin{align*}\left |H(j\omega) \right |=\frac{\frac{R}{L}}{\sqrt{\omega^{2}+\left ( \frac{R}{L}\right)^{2}}}\end{align*}$

Cuando $\omega$ = 0

$\begin{align*}\a la izquierda |H(j0) \a la derecha |=\frac{R}{L}{sqrt{0^{2}+\a la izquierda ( \frac{R}{L}{right)^{2}}=1\final{align*}$

Cuando $\omega$ $\infty$

$\begin{align*}\left |H(j\infty) \right |=\frac{\frac{R}{L}{cuadrado{\infty^{2}+\left ( \frac{R}{L}{right)^{2}}=0\end{align*}$

Para calcular la frecuencia de corte,

$\begin{align*}\left |H(j\omega_c) \right |=\frac{\frac{R}{L}}{\sqrt{\omega_c^{2}+\left ( \frac{R}{L}\right)^{2}}}=\frac{{1}}{\sqrt{2}} \end{align*}$

Por último, la frecuencia de corte de un circuito RL viene dada por

$\begin{align*} \omega_{c}=\frac{R}{L} \end{align*}$

Frecuencia de corte de un circuito RC

Considera un circuito RC sencillo como el que se muestra a continuación.

La función de transferencia del mismo está dada como

$\begin{align*}\frac{V_{0}(s)}{V_{i}(s)}=\frac{\frac{1}{sC}}{R+\frac{1}{sC}}\end{align*}$

$\begin{align*}H(s)=\frac{\frac{1}{RC}}{S+\frac{1}{RC}}\end{align*}$

Sustituir $s=j\omega$ en la ecuación anterior para calcular la respuesta en frecuencia

$\begin{align*}H(j\omega)=\frac{\frac{1}{RC}}{j\omega+\frac{1}{RC}}\end{align*}$

La magnitud La respuesta es

$\begin{align*}\left |H(j\omega) \right |=\frac{\frac{1}{RC}}{\sqrt{\omega^{2}+\left ( \frac{1}{RC}\right)^{2}}}\end{align*}$