¿Las propias aves? No mucho. Los pollos ni siquiera se infectan por el virus -varicela zoster, un miembro de la familia del herpes- que causa la erupción. (Sin embargo, pueden contraer una infección con efectos similares llamada viruela aviar.)
El nombre, más bien, probablemente proviene de la asociación de los pollos con la debilidad y la cobardía*.
Al igual que nos burlamos de nuestros amigos gallináceos por acobardarse en una aventura que nosotros somos lo suficientemente valientes como para afrontarla, el nombre de varicela distingue la infección más leve de las más graves y mortales viruela y sífilis (también conocidas como la Gran Viruela).
Aunque este origen parece ser el más consensuado y utilizado, hay otras dos explicaciones que a veces se dan en los textos médicos. Una es que el nombre surgió porque las lesiones de la erupción pueden parecerse a los garbanzos. La otra es que la palabra inglesa antigua giccan («picar») se corrompió en «pollo» o se mezcló con la palabra inglesa antigua cicen («ave joven») de aspecto similar.
Y pox, si te lo preguntas, es una variante ortográfica de pocks, el plural del inglés antiguo pock, o «pústula».»
* En cuanto a por qué asociamos los pollos con la debilidad, no he podido encontrar nada sólido, pero los tableros de Straight Dope ofrecen alguna discusión interesante y divertida al respecto.