La bibliografía de matemáticas de Chicago. me ayudó mucho, aquí está por ejemplo la sección elemental (para el álgebra lineal lo puedes encontrar en la sección intermedia, mira el enlace)
ELEMENTAL
Incluye «temas de bachillerato» y cálculo de primer año.
Contenidos
- Álgebra (4)
- Geometría (2)
- Fundamentos (1)
- Resolución de problemas. (4)
- Cálculo (6)
- Puentes a temas intermedios (2)
Álgebra
Gelfand/Shen, Álgebra
Gelfand/Glagoleva/Shnol, Funciones y gráficas
Gelfand/Glagoleva/Kirillov, El método de las coordenadas
Estos tres pequeños libros blancos provienen de la escuela soviética de matemáticas por correspondencia, dirigida por I. M. Gelfand para personas interesadas de todas las edades en los confines de la URSS. En lugar de intentar ser artificialmente «realista», como hacen los estadounidenses, Gelfand simplemente asume que se pueden entender las matemáticas tal y como se hacen (y evita las complejidades formales a las que están acostumbrados los matemáticos). YSP y SESAME los reparten a montones entre sus alumnos, a los que en su mayoría les encantan. TMoC destaca por su intrigante esquema de cuatro ejes para hacer gráficos planos de R4. En general, una mirada fresca e inspiradora a temas que damos por sentados, y una buena cosa para recomendar a estudiantes brillantes más jóvenes o amigos (¡o padres!)
Cohen, Precálculo con trigonometría del círculo unitario
Usé este libro en la escuela secundaria y absolutamente lo amé. Es muy escaso en pruebas, y realmente no debería usarse para ese tipo de conocimiento. Sin embargo, en términos de comprensión de cómo aplicar varios conceptos matemáticos es maravilloso. Tiene un gran número de gráficos, ejemplos y tablas de fácil referencia. Cubre todo el álgebra, la trigonometría y la geometría cartesiana que cualquier secuencia de matemáticas de un buen instituto debería tratar. Lo he usado durante años como libro de referencia (por ejemplo, qué es exactamente la regla de Cramer otra vez…) Las soluciones a varios de los problemas están en la parte de atrás, y los problemas no son del todo aplicaciones.
Geometría
Euclides, Los elementos
No, no estoy bromeando. Al principio es increíblemente molesto y tedioso de leer, pero después de un tiempo le coges el tranquillo al lenguaje y al estilo. Euclides te enseña tanto la potencia de los métodos algebraicos modernos como las cosas que esconde nuestro instinto de asignar un número a una longitud. Además, hay detalles maravillosos aquí y allá (¿sabía usted que Euclides inventó el corte de Dedekind?). Por lo menos, échale un vistazo para leer su demostración del teorema de Pitágoras. (Gracias a Jonathan Beere (’95) por convencerme de que merecía la pena.)
Tengo el Volumen I, y tengo que reconocer que no lo he leído realmente. Sin embargo, creo que me vendría bien que alguien me metiera algo en la garganta, porque hoy en día los estudiantes de grado estamos entrenados para considerar lo «geométrico» como un fuerte peyorativo, la antítesis misma del rigor y la demostración.
Coxeter, Geometry revisited
Se trata de un texto sobre «geometría euclidiana avanzada», que comienza con los innumerables «centros» clásicos de un triángulo y procede a partir de ahí. Muchos ejercicios buenos. Hay muchos textos de «geometría universitaria» en los que se puede encontrar este material, pero la mayoría de ellos están dirigidos a estudiantes de matemáticas; este libro y el otro de Coxeter (ver más abajo) los superan a todos.
Me gusta este libro. No lo tengo pero lo he hojeado más de una vez y estoy de acuerdo en que tiene una calidad agradablemente no cerebral. Hay datos geométricos interesantes que probablemente no hayas visto antes aquí.
Fundamentos
Rucker, El infinito y la mente
Este no es realmente un libro de matemáticas. Es una introducción amigable al concepto de infinito, números transfinitos y paradojas relacionadas. Lo recomendaría a estudiantes de secundaria que estén interesados en las matemáticas, pero que no estén preparados para sentarse a leer una prueba tras otra de los teoremas. (De hecho, yo lo leí por primera vez en el instituto como parte de una clase de matemáticas de estudio independiente). El libro contiene algunas pruebas, pero no en la forma rigurosa de un texto estándar de matemáticas. Incluye más antecedentes históricos sobre los conceptos que la mayoría de los textos de matemáticas, lo cual es bueno. Cada capítulo va acompañado de problemas, y al final del libro hay una clave de respuestas (con explicaciones).
Resolución de problemas (preuniversitarios)
Libros de problemas de la NML
La MAA publica una serie llamada «New Mathematical Library» que contiene muchos títulos excelentes dirigidos al nivel de segundo año de universidad o inferior (Geometry revisited está entre ellos). En esta serie hay cuatro libros de problemas dados en la AHSME, uno de USAMO y dos de problemas de IMO, todos con soluciones. En YSP utilizamos mucho los libros de la AHSME; los problemas de la USAMO y de la IMO siguen haciéndome pasar un mal rato, y son divertidos si lo que se busca es la frustración una tarde.
Larson, Resolución de problemas a través de problemas
Después de lidiar con los problemas de la IMO durante un tiempo, recurre aquí para encontrar un libro que enseña (tanto como cualquier libro puede hacerlo) el arte de resolverlos. Las estrategias cognitivas se exponen con ejemplos de problemas (la mayoría de ellos de Olimpiadas y Putnams) a los que se aplican.
Lo tengo, o al menos lo tuve; no lo veo desde el instituto. La verdad es que no soy un gran solucionador de problemas de concursos, pero sí utilicé este libro y creo que me ayudó a prepararme para las Matemáticas de Chicago. Muchos problemas buenos, no todos inanes.
Pólya, Cómo resolverlo
No lo he leído, pero se supone que es la versión «clásica» de Larson anterior.
Pólya, Matemáticas y razonamiento plausible, I y II
Son las «secuelas» de Cómo resolverlo de Pólya. Son definitivamente interesantes, aunque su interés principal puede ser psicológico/filosófico (¡sólo en relación con las matemáticas se fusionan la filosofía y la psicología!) No estoy seguro de que uno pueda realmente convertirse en un solucionador de problemas significativamente mejor leyendo un libro sobre la naturaleza del razonamiento matemático, pero admiro a Pólya por escribir un libro interesante y desafiante sobre la práctica de las matemáticas; tales libros son, en mi opinión, demasiado escasos y distantes.
En 1997-98 se han publicado unos cuantos libros con el mismo tema general que Larson, pero diferentes colecciones de problemas; no he visto ninguno de ellos.
Cálculo
Por supuesto, como todos sabemos, el único y verdadero libro de cálculo es
Spivak, Cálculo
Este es un libro que todo el mundo debería leer. Si no sabes de cálculo y tienes tiempo, léelo y haz todos los ejercicios. En las partes 1 y 2 es donde finalmente aprendí lo que era un límite, después de tres años de «explicaciones» de libros de cálculo malos. El conjunto es el tratamiento más coherente del cálculo de una variable que he visto (se puede ver que Spivak tiene una visión de lo que está tratando de enseñar).
El libro tiene defectos, por supuesto. Los ejercicios se hacen un poco monótonos porque Spivak tiene unos cuantos trucos que le gusta usar repetidamente, y quizás muy pocos de ellos tratan de aplicaciones (pero puedes encontrar ese tipo de ejercicios en cualquier libro). Además, a veces evita la sofisticación a expensas de la claridad, como en las pruebas de Tres teoremas difíciles en el capítulo 8 (donde un montón de empujones de épsilon ocupan el lugar de las palabras «compacto» y «conectado»). Sin embargo, este es el mejor libro de cálculo en general, y he visto que hace un magnífico trabajo de rectificación cerebral en muchas personas.
Sí, es bueno, aunque tal vez más del afecto proviene de los estudiantes más avanzados que hojean de nuevo a través de él? La mayor parte de mi exposición a este libro proviene de la tutoría y la calificación de 161, pero creo seriamente que trabajar la mayor cantidad de problemas posibles (hay que reconocer que muchos de ellos son difíciles para los estudiantes de primer año, ¡y unos cuantos son realmente difíciles!) tiene un valor incalculable para desarrollar la madurez matemática y la técnica epsilónica que no debería faltar en ninguna carrera de matemáticas.
Otros libros de cálculo dignos de mención, y por qué:
Spivak, The hitchhiker’s guide to calculus
Sólo lo que dice el título. No lo he leído, pero a muchos estudiantes de 130s les encanta.
Hardy, A course of pure mathematics
Courant, Differential and integral calculus
Estos dos son para la «cultura». Son tratamientos clásicos del cálculo, de cuando un libro de matemáticas era riguroso y punto. Hardy se centra más en la elegancia conceptual y el desarrollo (empezando por la construcción de R). Courant se adentra más en las aplicaciones de lo que es habitual (incluyendo todo lo que se puede hacer sobre el análisis de Fourier sin la integración de Lebesgue). Son viejos, y los libros viejos son difíciles de leer, pero suelen merecer la pena. (¡Recuerda lo que dijo Abel sobre leer a los maestros y no a los alumnos!)
Apostol, Cálculo
Este es «el otro» texto moderno de cálculo riguroso. Se lee como un texto de nivel superior: lema-teorema-prueba-corolario. Seco pero completo (el segundo volumen incluye el cálculo multivariable).