Frontiers in Bioengineeringand Biotechnology

Wprowadzenie

Właściwości plastyczne odgrywają ważną rolę w wielu procesach membranowych, takich jak na przykład fuzja membran (Chernomordik i Kozlov, 2008) i modulacje aktywności kanałów membranowych (Schmidt i MacKinnon, 2008; Sansom i Biggin, 2010; Mashaghi i in., 2013b). W komórkach, błony zewnętrzne są podtrzymywane przez leżące u ich podłoża sieci aktyny. Naprężenia mechaniczne są wówczas zdominowane przez związany z nimi cytoszkielet aktynowy w skalach długości większych niż rozmiar oczek sieci aktynowej (30-300 nm) (Morone i in., 2006). Na małych skalach długości, jednakże, udział dwuwarstwy lipidowej będzie dominujący. W związku z tym, podjęto wysiłki w celu zbadania właściwości mechanicznych płatów dwuwarstwowych o wymiarach zbliżonych do rozmiaru oczek sieci aktynowej (Claesson i in., 2011).

Rozważając membranę jako ciało dwuwymiarowe, tj. zaniedbując jej grubość, jej właściwości mechaniczne przy braku anizotropii mogą być scharakteryzowane przez dwie stałe sprężystości zgodnie z teorią sprężystości continuum. W powszechnej praktyce charakteryzacji materiałów, parametrami tymi są zwykle moduł Younga i współczynnik Poissona. Oszacowanie modułu Younga dla membran zostało dostarczone przez eksperymenty (Tierney et al., 2005; Popescu et al., 2006). Jednakże, pomiar współczynnika Poissona nie jest prosty, ze względu na małą grubość membran w zakresie nanometrów (Mitchell et al., 2003; Martins et al., 2009). Z teoretycznego punktu widzenia, właściwości mechaniczne membran lipidowych są powszechnie badane w oparciu o Hamiltonian Helfricha. Główną wielkością fizyczną uzyskiwaną w takich badaniach jest sztywność zginania. Moduł Younga i współczynnik Poissona są wzajemnie powiązane poprzez wzory uwzględniające sztywność zginania, ale jak dotąd ani moduł Younga ani współczynnik Poissona nie zostały wyznaczone oddzielnie.

Symulacje i modele teoretyczne zostały wykorzystane do dostarczenia ważnych informacji na temat sprężystych (Goetz i Lipowsky, 1998; Lindahl i Edholm, 2001; Ayton i in., 2002) i lepkich właściwości dwuwarstw lipidowych (Jeon i Voth, 2005). Badanie właściwości mechanicznych cienkich warstw nie ogranicza się do biomembran i stanowi aktywny obszar badań w naukach materiałowych. Podjęto wysiłki w celu przewidzenia współczynnika Poissona folii wykonanych z różnych materiałów za pomocą symulacji komputerowych. Na przykład Galvao et al. zastosowali symulacje dynamiki molekularnej z wykorzystaniem reaktywnych empirycznych potencjałów rzędu wiązań w celu zbadania właściwości mechanicznych nanowłókien grafenowych (Martins i Galvao, 2010). Baughman i in. zaproponowali model szacowania współczynnika Poissona sieci włókien i z powodzeniem zastosowali go do arkuszy nanorurek węglowych (buckypaper) (Hall i in., 2008).

W niniejszej pracy przedstawiamy metodę wyznaczania współczynnika Poissona ν w symulacjach i stosujemy ją do modelu gruboziarnistej błony lipidowej, który został wprowadzony przez Lenza i Schmida (2005). Metoda ta jest ogólna i można ją stosować do dowolnych innych powierzchni. Po wyznaczeniu sztywności zginania kc ze spektrum mocy fluktuacji wysokości membrany, jesteśmy w stanie obliczyć moduł Younga E.

Materiały i Metody

Symulacje Monte Carlo dwuwarstw lipidowych z periodycznymi warunkami brzegowymi w kierunkach bocznych przeprowadzono dla gruboziarnistego modelu wprowadzonego przez Lenza i Schmida (2005). W modelu tym rozważane są amfifile jednoogonowe, które reprezentowane są przez sześć kulek ogonowych i jedną nieco większą kulkę głowową (o stosunku rozmiarów 1-1.1). Kulki należące do jednej molekuły są połączone za pomocą sprężyn o skończonej rozciągliwości nieliniowej (FENE) (Grest i Kremer, 1986) z potencjałem rozciągającym wiązania Rysunek 1:

Tutaj r jest odległością między sąsiednimi kulkami, νFENE charakteryzuje siłę sprężyny, r0 jest optymalną długością wiązania (brak rozciągania), a Δrm jest maksymalną odległością rozciągania. Sztywność ogonów jest uwzględniana przez harmoniczny potencjał kąta wiązania

gdzie θijk jest kątem wiązania związanym z trzema sąsiednimi koralikami. Zarówno niezwiązane kulki należące do tej samej cząsteczki, jak i kulki należące do różnych cząsteczek oddziałują poprzez potencjał miękkiego rdzenia:

gdzie θ(.) jest funkcją stopnia Heaviside’a. Cząsteczki rozpuszczalnika są reprezentowane przez fantomowy model kulek, które oddziałują z kulkami lipidowymi poprzez VSC(r) (z tymi samymi parametrami co kulki głowowe), ale nie oddziałują ze sobą. Wszystkie parametry modelu zostały dobrane zgodnie z modelem referencyjnym (Lenz i Schmid, 2005) i są zestawione w tabeli 1.

Bliźniaki lipidowe wykazują bogate spektrum struktur i przejść fazowych (Nagle i Tristram-Nagle, 2000; Illya i in., 2005; Seto i in., 2008; Thakkar i in., 2011). Stan płynny w wysokich temperaturach charakteryzuje się nieuporządkowanym układem ogonów lipidowych i stosunkowo dużą ruchliwością lipidów. Po ochłodzeniu, stan płynny przechodzi w stan żelu, w którym cząsteczki lipidów są bardziej uporządkowane i mają mniejszą ruchliwość. Inne możliwe fazy to faza interdygitacji, w której ogony lipidowe z przeciwległych monowarstw przenikają się nawzajem.

Skanując diagram fazowy modelu (Lenz, 2007), najpierw zrównaliśmy bilayery lipidowe przez około dwa miliony kroków Monte Carlo (MC), aby uzyskać różne fazy dla celów tej pracy, patrz rysunek 2. W zredukowanych jednostkach, ϵ/kB dla temperatury T i ϵ/σLJ3 dla ciśnienia P, odpowiadające im zmienne termodynamiczne to: P = 2 i T = 1,08 dla fazy żelowej, P = 1 i T = 1,3 dla fazy płynnej, P = 0,5 i T = 1,16 dla fazy międzywęzłowej. Charakterystyczne parametry dla poszczególnych faz, w tym średnią długość łańcucha l¯, grubość warstwy d, powierzchnię przypadającą na lipid A oraz parametr uporządkowania łańcucha Sz zestawiono w tabeli 2.

Symulacje przeprowadzono w warunkach stałej temperatury i ciśnienia (zespół NPT) dla bilayerów lipidowych o różnych rozmiarach. Aby zbadać spektrum mocy fluktuacji wysokości powierzchni, symulowano warstwę, której górny i dolny płat składa się z 64 × 64 cząsteczek lipidów. Do modelu rozpuszczalnika wybrano około 17000-72000 kulek (dokładna liczba zależy od symulowanej fazy). Aby przeprowadzić analizę współczynnika Poissona, zrównoważyliśmy prostokątne dwuwarstwy składające się z 12 × 24 cząsteczek lipidów na listek do trzech różnych faz.

Aby wyznaczyć zarówno E jak i ν, musimy wyznaczyć jedną z tych stałych sprężystości oddzielnie. Wykorzystując periodyczne warunki brzegowe, wprowadzamy metodę obliczania współczynnika Poissona dla powierzchni (Abedpour et al., 2010). Stosunek Poissona to ujemny stosunek zmian odkształcenia poprzecznego podzielony przez zmiany odkształcenia osiowego w ciele, gdy jest ono rozciągane lub ściskane wzdłuż kierunku osiowego pod wpływem naprężenia poniżej granicy proporcjonalności. Dla nieskończenie małych odkształceń skośnych, współczynnik Poissona można zastąpić stosunkiem względnych zmian długości jako νij = -ΔLi/ηjLi, gdzie ηj ≡ ΔLj/Lj jest zdefiniowane jako ułamek zmiany długości osiowej. W prezentowanej metodzie długość pomiędzy sąsiednimi lipidami jest przeskalowywana o współczynnik (1 + η) w kierunku osiowym, powiedzmy w kierunku y, a następnie monitorowana jest zmiana rozmiaru pudełka symulacyjnego w kierunkach prostopadłych, w tym przypadku w kierunku x i z. Przy zachowaniu stałej długości pudełka (1 + η) Ly, dla ustalenia ciśnienia w symulacjach, wymiary pudełka mogą się teraz zmieniać tylko w kierunku x i z. Gdy początkowe średnie długości w kierunku x i z wynosiły Lx i Lz, nowe średnie wartości Lx + ΔLx i Lz + ΔLz są osiągane po przeskalowaniu, poprzez ponowną ekwilibrację układu przez kilka kroków MC, patrz Rysunek 3.

Podczas symulacji, aby przyspieszyć procedurę termalizacji po rozszerzeniu pudełka wzdłuż kierunku osiowego, nieznacznie podnieśliśmy temperaturę w układzie, co spowodowało zwiększenie ruchliwości cząsteczek. Dla fazy ciekłej ustawiliśmy temperaturę początkową na T = 1.3, a następnie zmieniliśmy ją na T = 1.4 na około dodatkowe 400 kroków, po czym wróciliśmy do pierwotnej wartości. Podobnie, dla fazy żelowej i międzywęzłowej, temperatury początkowe wynosiły T = 1.08 i T = 1.16 i zostały zmienione na T = 1.2 i T = 1.3, odpowiednio.

Powszechna analiza właściwości sprężystych membrany opiera się na Hamiltonianie Helfricha (Helfrich, 1973), który opisuje koszt sprężystej entalpii swobodnej związanej z fluktuacjami wysokości membrany (odchylenia od płaskiej powierzchni). Przy parametryzacji membrany we współrzędnych kartezjańskich (x,y) →(x,y,h(x,y)) (Monge gauge), hamiltonian Helfricha jest, dla małych fluktuacji, dany przez

gdzie kc jest sztywnością zginania, a σ napięciem powierzchniowym. Równanie (4) jest stosowane, gdy membrana jest traktowana jako ciało o zerowej grubości. Uogólniona teoria sprężystości dla membran o skończonej grubości została zaproponowana przez Brannigana i Browna (2006) i zastosowana do modelu Lenza-Schmida ostatnio (West i in., 2009; Neder i in., Aby wyznaczyć h(x, y) na podstawie symulacji, zdyskretyzowaliśmy płaszczyznę (x, y) na regularną siatkę o rozstawie 2σLJ, wyznaczyliśmy w każdej komórce (i, j) średnie współrzędne z+(i, j) i z-(i, j) główki paciorka odpowiednio w górnym i dolnym płatku i obliczyliśmy wysokość h(i, j) – /2 (średnia h¯ została następnie odjęta). Dla membrany o rozmiarach poprzecznych L × L, Eq. (4) przewiduje:

dla widma mocy fluktuacji, gdzie ĥ(q) jest transformatą Fouriera h(x, y) przy wektorze fali q, q = |q|, a <> oznacza średnią równowagową. W numerologii, ĥ(q) jest obliczana z dyskretnej transformaty Fouriera h(i, j). Jest oczywiste, że równanie (5) może być prawdziwe tylko dla zakresu q 2π/L ≪ q ≪ 2π/σLJ, gdzie ani skończony rozmiar układu, ani (atomistyczny) rozmiar perełek nie wpływa na fluktuacje. Odpowiedni zakres q dla układów o rozsądnych rozmiarach nie jest niestety duży, ale dopasowania < |ĥ(q)|2 > ∕kBTL2 w funkcji q2 w zakresie 0.5 ≤ q2 ≤ 1 dają dobrą zgodność z Eq. (5) dla naszych wielkości.

Wyniki i dyskusja

W tabeli 3 zestawiono uzyskane współczynniki Poissona νyx, νzx, i νxy oraz νzy dla różnych faz. Jak pokazano na rysunku 4, uzyskany w ten sposób współczynnik Poissona jest niezależny od współczynnika przeskalowania η, o ile η nie jest ani zbyt duży, co prowadzi do zniszczenia struktury membrany, ani zbyt mały, co nie zapewnia wystarczającej ilości wolnej przestrzeni dla ruchu cząstek. Zgodnie z tabelą 3 i rysunkiem 4, fazy płynna i międzywęzłowa mają taki sam zmierzony współczynnik Poissona zarówno dla kierunku x, jak i y. Oznacza to, że te dwie fazy są wzajemnie powiązane. Oznacza to, że te dwie fazy są izotropowe w płaszczyźnie dwuwarstwy. Nie dotyczy to już jednak fazy żelowej. Pomiary pokazują, że bilayer w fazie żelowej zachowuje się jak materiał anizotropowy, który ma dwie rozróżnialnie różne wartości dla dwóch różnych kierunków w płaszczyźnie bilayer’u.

Odwrotnie, gdy bilayer był rozszerzany w kierunku prostopadłym do płaszczyzny nachylenia, lipidy reorganizowały się w taki sposób, że bilayer kurczył się poprzecznie. W niniejszej pracy długości wiązań lipidów w kierunku z (prostopadłym do płaszczyzny dwuwarstwy) nie zostały przeskalowane. Wynika to z faktu, że aby zaobserwować efekt Poissona, długość pomiędzy kulkami powinna być przeskalowana o czynnik, który daje wystarczającą przestrzeń dla cząsteczek do rearanżacji. Jednak w kierunku z, wzrost ten powinien wystąpić pomiędzy związanymi kulkami wewnątrz lipidu, co powoduje rozerwanie wiązania. Podane wartości νzx i νzy są wynikowymi względnymi zmianami średniej długości dwuwarstwy spowodowanymi bocznym wydłużeniem dwuwarstwy odpowiednio w kierunku x i y.

Wartości uzyskane dla sztywności zginania kc wynoszą 5,2ϵ dla fazy płynnej i 7,6ϵ dla fazy międzywarstwowej. Dla fazy żelowej i płynnej, wyniki zgadzają się z wcześniejszymi raportami obliczeniowymi (West, 2008; West et al., 2009) oraz wynikami eksperymentalnymi (Falcioni et al., 1997; Liu and Zhang, 2009). Gęstość spektralna dla fazy międzywęzłowej została obliczona według tej samej metody. W tym miejscu podajemy sztywność zginania dla fazy międzywęzłowej. Rysunek 5 ilustruje widma fluktuacji wysokości dla trzech badanych faz i dopasowania do równania Eq. (5).

W ramach dwuwymiarowej teorii sprężystości, sztywność zginania kc jest związana ze współczynnikiem Poissona ν i modułem Younga E zgodnie z (Landau i in., 1986)

gdzie d jest średnią grubością membrany, dla której otrzymujemy, 5.48σLJ, i 4.86σLJ odpowiednio dla cieczy i faz międzywęzłowych. Podstawiając założone wartości współczynników Poissona i sztywności zginania dla bilayerów w dwóch izotropowych fazach do równania (6), można otrzymać odpowiednie moduły Younga. Obliczone w ten sposób moduły Younga wynoszą 0,28 i 0,67 w jednostkach ϵ/σ3 odpowiednio dla stanu płynnego i międzywarstwowego. Oczywiście, obserwowana anizotropowość w fazie żelowej nie pozwala na zastosowanie powyższego twierdzenia dla dwuwarstwy w tej fazie.

Podejście przedstawione w tym artykule może być zastosowane do membran o bardziej złożonym składzie lipidów, biorąc pod uwagę, że istnieją dla nich zweryfikowane doświadczalnie modele oddziaływań. Podejście to może być również połączone z dokładniejszą symulacją bilayerów. W pełni atomistyczne symulacje, a w szczególności symulacje ab initio, mogłyby w zasadzie dostarczyć dokładniejszych opisów systemu, ale wiąże się to z ogromnym obciążeniem obliczeniowym (Mashaghi et al., 2012, 2013a).

Wniosek

Wykonaliśmy symulacje Monte Carlo gruboziarnistego modelu dwuwarstwy lipidowej, aby uzyskać wgląd w mechaniczne właściwości planarnych membran lipidowych. Dzięki zastosowaniu metody przeskalowania, mogliśmy wyznaczyć współczynnik Poissona ν dla różnych faz, oprócz sztywności zginania wyznaczonej z analizy fluktuacji wysokości membrany w oparciu o Hamiltonian Helfricha. Pozwala to również na obliczenie modułu Younga E dla różnych faz. Metoda ta jest dokładna, łatwa w implementacji i może być zastosowana do innych membran, takich jak grafen (Abedpour et al., 2010), w celu przewidzenia temperaturowej zależności współczynnika Poissona i modułu Younga. Innymi interesującymi systemami do badań są krystaliczne nanodruty metaliczne, których moduł sprężystości kontroluje ich strukturalną wydajność i funkcjonalne zachowanie, takie jak ich częstotliwość rezonansowa pod obciążeniem oscylacyjnym typowo stosowanym podczas uruchamiania i wykrywania (Chen et al., 2006; McDowell et al., 2008).

Oświadczenie o konflikcie interesów

Autorzy deklarują, że badania zostały przeprowadzone przy braku jakichkolwiek komercyjnych lub finansowych powiązań, które mogłyby być interpretowane jako potencjalny konflikt interesów.

Podziękowania

Chcielibyśmy podziękować Philippowi Maassowi za jego pomocne dyskusje.