Afsnijfrequentie: Wat is het? Vergelijking en hoe deze te vinden

Inhoud

Wat is Afsnijfrequentie?

De afsnijfrequentie (ook wel hoekfrequentie of breakfrequentie genoemd) wordt gedefinieerd als de grens in de frequentierespons van een systeem waarop de energie die door het systeem stroomt, begint te worden gedempt (gereflecteerd of gereduceerd) in plaats van doorgelaten.

De afsnijfrequentie of hoekfrequentie in de elektronica is de frequentie waarboven of waaronder het uitgangsvermogen van een circuit, zoals een lijn, versterker of elektronisch filter (b.v. een hoogdoorlaatfilter) is gedaald tot een bepaald aandeel van het vermogen in de doorlaatband.

meestal is deze verhouding de helft van het doorlaatbandvermogen, ook wel het 3 dB-punt genoemd omdat een daling van 3 dB ongeveer overeenkomt met de helft van het vermogen. Als spanningsverhouding is dit een daling tot ongeveer 0,707.

Voor alle filtercircuits, zoals RC circuits, is de afsnijfrequentie een zeer belangrijke eigenschap. Op dit punt begint de hoeveelheid verzwakking door het filter snel toe te nemen.

Om aan te geven hoe lang de versterkingsversterking constant kan blijven ten opzichte van de frequentie, moeten we een bereik van frequenties definiëren. In dat bereik mag de versterking niet meer afwijken dan 70,7% van de maximale versterking die als referentie is gedefinieerd bij middenfrequenties. In de hieronder getoonde curve geven f1 en f2 de onder- en bovengrens van de afsnijfrequenties aan.

Bandbreedte

In de signaalverwerking wordt bandbreedte gedefinieerd als het verschil tussen de bovengrens van de afsnijfrequentie en de ondergrens van de afsnijfrequentie. De frequentie f2 ligt in een hoogfrequent bereik en f1 in het laagfrequent bereik. We kunnen deze twee frequenties ook Half – Power frequenties noemen omdat de spanningsversterking daalt tot 70,7% van de maximumwaarde.

Dit vertegenwoordigt het vermogen van één – de helft van het vermogen bij de referentiefrequentie in het middengebied van de frequentie. Aangezien de verandering niet merkbaar is, heeft de audioversterker een vlakke respons van f1 tot f2.

Cutoff Frequency Equation

De formule voor de afsnijfrequentie (hoekfrequentie) is

$\begin{align*}f_{c}=\frac{1}{2\pi RC}\end{align*}$ ${align*}f_{c}=$

waar R en C de waarden van Weerstand en Capaciteit zijn. Voor een eenvoudig RC laagdoorlaatfilter wordt de afsnijding (3dB punt) gedefinieerd als wanneer de weerstand even groot is als de capacitieve reactantie

Decibel eenheid

Versterking wordt meestal uitgedrukt in decibels. De decibeleenheid komt voort uit de logaritmische respons van het menselijk oor op de intensiteit van geluid. Vandaar dat decibel een logaritmische meting is van de verhouding van een vermogen tot een ander vermogen, het kan ook worden uitgedrukt als een verhouding van een spanning tot een andere.

In het algemeen wordt de spanningsuitgang of spanningsversterking van een versterker uitgedrukt in decibel (dB), die wordt gegeven door Spanningsversterking in dB is .

De vermogensversterking van een versterker wordt uitgedrukt in decibel (dB), wat gegeven wordt door vermogensversterking in dB is

Wanneer Av groter is dan één, wordt gezegd dat de dB-versterking positief is. Het vertegenwoordigt de versterking. Als Av kleiner is dan één, is dB negatief.

In versterkers kan onder bepaalde omstandigheden de waarde van de versterking worden toegekend met een referentie van 0 dB. In een dergelijke situatie wordt de referentieversterking gebruikt als referentie die wordt gebruikt om andere versterkingswaarden te vergelijken.

Vermogensversterkers hebben een maximale versterking in het middenfrequentiegebied en een lagere versterking in het lage frequentiegebied. De maximale versterking wordt het midden-frequentiegebied genoemd met een waarde van 0 dB. Wanneer de versterking onder het middenfrequent bereik ligt, wordt dit uitgedrukt als een negatieve dB waarde.

Hoe de afsnijfrequentie te vinden

Er zijn vele methoden waarmee de afsnijfrequentie kan worden berekend.

Afsnijfrequentie uit overdrachtsfunctie

De analyse van een schakeling met een wisselende frequentie van sinusvormige bronnen wordt de frequentierespons van een schakeling genoemd. De overdrachtsfunctie van een schakeling is gedefinieerd als de verhouding tussen de uitgangsspanning en de ingangsspanning in het s-domein.

${begin{equation*} H(s)=\frac{V_{0}(s)}{V_{i}(s)}$

Bij gebruik van een sinusvormige bron wordt de overdrachtsfunctie gegeven als de grootte en fase van de uitgangsspanning op de grootte en fase van de ingangsspanning in een schakeling. In dat geval wordt gebruikt in plaats van s.

$begin{align*} H(s)=\frac{V_{0}(j\omega)}{V_{i}(j\omega)} \Einde{align*}$

Bedenk bijvoorbeeld de overdrachtsfunctie

$Begin{align*} H(s)=\frac{20(s+10)}{s+100)}$

Om de hoekfrequentie uit bovenstaande vergelijking te verkrijgen, kan H(s) worden vervangen als

$\begin{align*} H(s)={2(1+s/10))}{1+(s/100))}$

${begin{align*} 2(1+(s/10)) \{(1+(s/100))}{frac{1}{(1+(s/100))}{equiv H_{1}(s)H_{2}(s)}$

Dus, uit deze vergelijking, wordt de hoekfrequentie berekend als ${omega_{01}(s)=10 rad/s$ en ${omega_{02}(s)=100 rad/s$ . Om het bereik van de frequenties te kiezen, moeten we rekening houden met de waarden van de hoekfrequentie.

Cutoff Frequency from Bode Plot

Een grafiek die vaak in de regeltechniek wordt gebruikt om de stabiliteit van een regelsysteem te bepalen, staat bekend als een Bode-plot. De Bode plot schetst de frequentierespons van het systeem aan de hand van twee grafieken – de Bode magnitude plot (toont de magnitude in decibels) en de Bode fase plot (toont de faseverschuiving in graden).

In de Bode-plot is de hoekfrequentie gedefinieerd als de frequentie waarbij de twee asymptoten elkaar ontmoeten of snijden.

De overdrachtsfunctie $H(s)=\frac{V_{0}(s)}{V_{i}(s)}$ van een systeem bevat uitgebreide informatie over de versterking en de stabiliteit van het systeem. Bode plots geven een geschat beeld van een gegeven
waaruit een redelijk idee van de versterking van het systeem en zijn stabiliteitseigenschappen kan worden
bereikt.

Afsnijfrequentie van een laagdoorlaatfilter

Een laagdoorlaatfilter is een schakeling dielaagdoorlaatfilter is een schakeling die laagfrequente signalen doorlaat en hoogfrequente signalen tegenhoudt. Alle laagdoorlaatfilters hebben een bepaalde afsnijfrequentie, waarboven de uitgangsspanning daalt tot onder 70,7% van de ingangsspanning. De frequentie waarbij de magnitude-responsie 3 dB lager is dan de waarde bij 0 Hz, staat bekend als de afsnijfrequentie van een laagdoorlaatfilter.

Cutoff-frequentie van een laagdoorlaatfilter

Voorbeeld, als een laagdoorlaat capacitief filter en heeft, bij welke frequentie zal de uitgang dan 70.000.000 F zijn?7%?

Een eenvoudig capacitief laagdoorlaatfilter met één weerstand en één condensator heeft een afsnijfrequentie van $f_{c}=\frac{1}{2}pi RC}$ . Als we de overeenkomstige waarden van R en C invullen, wordt de afsnijfrequentie 45,473 Hz. De uitgang is dus 70,7% bij 45,473 Hz.

Wanneer de Bode Plot wordt uitgezet voor een laagdoorlaatfilter, zoals in onderstaande afbeelding, lijkt de frequentierespons van het filter bijna vlak te zijn voor lage frequenties.

Tot het punt van de afsnijfrequentie wordt bereikt, gaan alle ingangssignalen direct naar de uitgang, wat resulteert in een eenheidsversterking. Dit gebeurt wanneer de reactantie van de condensator bij lage frequenties groot is en verhindert dat er stroom door de condensator loopt. De respons van de kring neemt na dit afsnijfrequentiepunt af tot nul met een helling van -20dB/ decade “roll-off”.

Het frequentiepunt waarbij de capacitieve reactantie en de weerstand gelijk zijn, staat bekend als de afsnijfrequentie van een laagdoorlaatfilter. Bij de afsnijfrequentie is het uitgangssignaal verzwakt tot 70,7% van de waarde van het ingangssignaal of -3dB van het ingangssignaal.

Bedenk een eerste orde laagdoorlaatfilter met een trasnferfunctie

$begin{align*} T(s)=\frac{a_{0}}{s+\omega _{0}} \eind{align*}$

Herschrijf bovenstaande vergelijking door teller en noemer te delen door RC

$\begin{align*}T(s)=\frac{1}{1+sRC}\end{align*}$

$\begin{align*}T(s)=\frac{1/RC}{s+1/RC}\end{align*}$

Hence, $a_{0}=1/RC$ en $\omega_{0}=1/RC$ , waarbij $\omega_{0}$ de afsnijfrequentie is.

Om een beter begrip van de afsnijfrequentie te krijgen, moet de standaard overdrachtsfunctie in het s-domein worden omgezet in een equivalent $j\omega$ formaat.

$begin{align*}}T(s)=\frac{K}{1+s/\omega _{0}}$

$\begin{align*}T(j\omega)=\frac{K}{1+\j{\frac{\omega}{\omega_{0}}}}\end{align*}$

Now, laten we deze uitdrukking evalueren bij de afsnijfrequentie

$\begin{align*}T(j\omega=j\omega_{0})=\frac{K}{1+\j{\frac{\omega}{\omega_{0}}}}=\frac{K}{1+j}\end{align*}$

Denomiantor being a complex number, moet de magnitude berekend worden.

$begin{align*} \left |T(j\omega=j\omega_{0}) \right |=\frac{K}{\sqrt{1^{2}}+1^{2}}=\frac{K}{\sqrt{2}}$

K is de DC-versterking. Als de ingangsfrequentie toeneemt tot de afsnijfrequentie, zal de uitgangsamplitude $\frac{K}{\sqrt{2}}$ zijn. De waarde $\frac{1}{\sqrt{2}}$ komt overeen met -3dB, wat niets anders is dan de afsnijfrequentie.

Deze overdrachtsfunctie-analyse heeft duidelijk laten zien dat de afsnijfrequentie gewoon de frequentie is waarbij de amplitude-responsie van het filter met 3 dB wordt verlaagd, wat overeenkomt met de amplitude-responsie bij de zeer lage frequentie.

Afsnijfrequentie van een hoogdoorlaatfilter

Een hoogdoorlaatfilter laat signalen door met een frequentie hoger dan een gespecificeerde afsnijfrequentie. Signalen met frequenties lager dan die drempelfrequentie worden verzwakt.

Cutoff-frequentie van een hoogdoorlaatfilter

De overdrachtsfunctie wordt in de onderstaande vergelijkingen afgeleid.

$begin{align*} Z_{R}=R \;\;\;\;Z_{C}={sC}$

De uitgangsimpedantie is gegeven als

$\begin{align*}Z_{out}=Z_{R}$

De ingangsimpedantie is gegeven als

$begin{align*}Z_{in}=Z_{R}+Z_{C}$

De overdrachtsfunctie van een hoogdoorlaatfilter wordt gedefinieerd als de verhouding tussen de uitgangsspanning en de ingangsspanning.

$>begin{align*}}\frac{V_{out}{V_{in}}=\frac{Z_{out}{Z_{in}}$

$begin{align*} =\frac{Z_{R}}{Z_{R}+Z_{C}}{align*}$

$\begin{align*}=\frac{R}{R+\frac{1}{sC}}\end{align*}$

$\begin{align*}=\frac{sCR}{sCR+1}T(S)\end{align*}$

$begin{align*}=\frac{s}{s+\frac{1}{RC}}$

Bij vergelijking van de bovenstaande vergelijking, met de standaardvorm van de overdrachtsfunctie,

$>begin{align*}T(s)=\frac{a_{1}s}{s+\omega _{0}}$

$a_{1}$ is de amplitude van het signaal

De afsnijfrequentie staat bekend als een frequentie die een grens vormt tussen doorlaat- en stopband. Als de frequentie van het signaal hoger is dan de drempelfrequentie van een hoogdoorlaatfilter, zal het signaal doorgelaten worden. De vergelijking van de drempelfrequentie voor een eerste orde hoogdoorlaatfilter is dezelfde als die voor een laagdoorlaatfilter.

$\begin{align*}f_{c}=\frac{1}{2\pi RC}\end{align*}$

Afsnijfrequentie van een banddoorlaatfilter

Het banddoorlaatfilter bestaat uit twee afsnijfrequenties. Het banddoorlaatfilter bestaat uit een hoogdoorlaat- en een laagdoorlaatfilter. De eerste drempelfrequentie is van een hoogdoorlaatfilter, bekend als de hogere drempelfrequentie. Deze afsnijfrequentie staat bekend als fc high.

$\begin{align*}FC_{high}=\frac{1}{2\pi R_{1}C_{1}}\end{align*}$

De tweede afsnijfrequentie is van het laagdoorlaatfilter dat bekend staat als de onderste afsnijfrequentie. Deze afsnijfrequentie staat bekend als fc low.

$begin{align*}FC_{low}=\frac{1}{2\pi R_{2}C_{2}}$

De bandbreedte wordt gegeven als het bereik tussen deze frequenties. Voor een hoogdoorlaatfilter bepaalt de afsnijfrequentie de laagste waarde van de bandbreedte. Voor een laagdoorlaatfilter bepaalt de afsnijfrequentie de hogere waarde van de bandbreedte.

Afsnijfrequentie van RL-schakeling

Beschouw een eenvoudige RL-schakeling zoals hieronder afgebeeld.

De overdrachtsfunctie voor deze schakeling is wordt gegeven als

$>begin{align*}\frac{V_{0}(s)}{V_{i}(s)}=\frac{R}{sL+R}}end{align*}$

$>begin{align*}H(s)=\frac{\frac{R}{L}}{S+\frac{R}{L}}$

Substitueer $s=j\omega$ in de bovenstaande vergelijking om de frequentierespons

$>begin{align*}H(j\omega)=\frac{\frac{R}{L}}{j\omega+\frac{R}{L}}\end{align*}$

Magnitudiarespons is

$\begin{align*}\left |H(j\omega) \right |=\frac{\frac{R}{L}}{\sqrt{\omega^{2}+\left ( \frac{R}{L}\right)^{2}}}\end{align*}$

Wanneer $\omega$ = 0

$\begin{align*}\left |H(j0) \right |=\frac{\frac{R}{L}}{\sqrt{0^{2}+\left ( \frac{R}{L}\right)^{2}}}=1\end{align*}$ ${begin{align*}\left |H(j0) \right |={frac{R}{L}}{\sqrt{0^{2}+\left ( \frac{R}{L}}}}=1$

Wanneer $\infty$

$begin{align*} links |H(j\infty) rechts |=\frac{\frac{R}{L}}{\sqrt{\infty^{2}+\left ( \frac{R}{L}\rechts)^{2}}=0\end{align*}$

Om de afsnijfrequentie te berekenen,

$\begin{align*}\left |H(j\omega_c) \right |=\frac{\frac{R}{L}}{\sqrt{\omega_c^{2}+\left ( \frac{R}{L}\right)^{2}}}=\frac{{1}}{\sqrt{2}} \end{align*}$ $begin{align*} links |H(j\omega_c) rechts |=\frac{R}{L}}{\sqrt{\omega_c^{2}+\left ( \frac{R}{L}}rechts)^{2}}={1}}{\sqrt{2}}$

Eindelijk wordt de afsnijfrequentie van een RL-schakeling gegeven als

$\begin{align*}} \omega_{c}=\frac{R}{L} \einde{align*}$

Afsnijfrequentie van een RC-schakeling

Bedenk een eenvoudige RC-schakeling zoals hieronder afgebeeld.

De overdrachtsfunctie voor deze schakeling is gegeven als

$\begin{align*}\frac{V_{0}(s)}{V_{i}(s)}=\frac{\frac{1}{sC}}{R+\frac{1}{sC}}\end{align*}$ begin{align*}\frac{V_{0}(s)}{V_{i}(s)}=\frac{1}{sC}}{R+\frac{1}{sC}}\eind{align*}

$\begin{align*}H(s)=\frac{\frac{1}{RC}}{S+\frac{1}{RC}}\end{align*}$

Substitueer $s=j\omega$ in bovenstaande vergelijking om de frequentierespons te berekenen

$s=j\omega$ de frequentierespons

$begin{align*}H(j\omega)=\frac{{1}{RC}}{j\omega+\frac{1}{RC}}$

Magnitude Reactie is

$\begin{align*}\left |H(j\omega) \right |=\frac{\frac{1}{RC}}{\sqrt{\omega^{2}+\left ( \frac{1}{RC}\right)^{2}}}\end{align*}$