Cramer’s Regel is een andere methode waarmee stelsels lineaire vergelijkingen kunnen worden opgelost met behulp van determinanten.
In termen van notaties, een matrix is een reeks getallen omsloten door vierkante haken, terwijl determinant een reeks getallen is omsloten door twee verticale balken.
Notaties
![vierkante haakjes geven een matrix aan, bijvoorbeeld](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/2x2mat2.gif)
![verticale balken (ook bekend als "pijpen") geven een determinant van een matrix aan, bijvoorbeeld, | a,b ; c,d |"pipes") indicate a determinant of a matrix, for example, | a,b ; c,d |](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/2x2mat3.gif)
De formule om de determinant van een 2 x 2 matrix te vinden is heel eenvoudig.
Laten we het even op een rijtje zetten:
De determinant van een 2 x 2 matrix
![Let matrix A heeft de items a en b op de eerste rij, en c en d op de tweede rij, wat kan worden uitgedrukt als A = . De determinant van matrix A is dan |A| = determinant van = |a,b;c,d| = a*d-b*c.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/2x2mat4.gif)
Snelle voorbeelden van hoe de determinanten van een 2 x 2 Matrix te vinden
Voorbeeld 1: Bereken de determinant van de onderstaande matrix A.
![Matrix A is een 2x2 vierkante matrix met elementen 1 en 2 op de eerste rij, en elementen 3 en 4 op de tweede rij. Als alternatief kunnen we matrix A schrijven als A = .](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/2x2mat5.gif)
![De determinant van matrix A die geschreven kan worden als det = |A| = |1,2;3,4| = (1)(4) - (2)(3) = 4-6 = -2. De determinant van matrix A is dus negatief 2.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/detA.gif)
Voorbeeld 2: Bereken de determinant van onderstaande matrix B.
![Matrix B is een vierkante matrix van 2 bij 2 met de ingangen 5 en -1 op de eerste rij, en de ingangen 2 en -3 op de tweede rij. Deze matrix kan worden uitgedrukt als B=.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/2x2mat6.gif)
![De determinant van matrix B die kan worden geschreven als det = |B| = |5,-1;2,-3| = (5)(-3) - (-1)(2) = -15-(-2) = -15 + 2 = -13. Dat maakt de determinant van matrix B negatief 13.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/detB.gif)
Voorbeeld 3: Bereken de determinant van de onderstaande matrix C.
![Matrix C is een vierkante matrix met twee rijen en twee kolommen. De elementen op de eerste rij zijn -1 en 3, terwijl de elementen op de tweede rij -7 en -9 zijn. Matrix C = dus .](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/xmat8.gif)
![De determinant van matrix C die geschreven kan worden als det = |C| = |-1,3;-7,-9| = (-1)(-9) - (3)(-7) = 9+21 = -15 + 2 = 30. De determinant van matrix C is dus positief 30.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/detC.gif)
Nadat je weet hoe je de determinant van een matrix van 2 x 2 kunt vinden, ben je nu klaar om de procedures of stappen te leren voor het gebruik van de regel van Cramer. Daar gaan we!
Regels van Cramer voor stelsels lineaire vergelijkingen met twee variabelen
- Geef een lineair stelsel
![Dit is een diagram met een stelsel lineaire vergelijkingen waarbij de eerste lineaire vergelijking a1x+b1y=c1 is en de tweede a2x+b2y=c2. De x-kolom (ook bekend als de eerste kolom) bevat de constanten die aan de variabele x zijn verbonden, de y-kolom (ook bekend als de tweede kolom) bevat de constanten die aan de variabele y zijn verbonden, en tenslotte bevat de constante-kolom (ook bekend als de derde kolom) alleen de constanten , dat wil zeggen, alleen constanten zonder variabelen die eraan verbonden zijn.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/cramer_system.gif)
- Namen toekennen aan elke matrix
coëfficiëntenmatrix:
![Matrix D wordt ook wel de "coëfficiëntenmatrix" genoemd, met de ingangen a1 en b1 op de eerste rij, en de ingangen a2 en b2 op de tweede rij. We kunnen dit schrijven als coëfficiëntenmatrix D = ."coefficient matrix" with entries a1 and b1 on the first row, and entries a2 and b2 on the second row. We can write this as coefficient matrix D = .](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/coefmat.gif)
X – matrix:
![Matrix Dx (te lezen als "D subscript x") wordt ook wel de "x-matrix" genoemd met elementen c1 en b1 op de eerste rij, en elementen c1 en b2 op de tweede rij. Dit kan worden geschreven als, x-matrix, Dx = ."D subscript x") is also known as the "x-matrix" with elements c1 and b1 on the first row, and elements c1 and b2 on the second row. This can be written as, x-matrix, Dx = .](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/xmat.gif)
Y – matrix:
![Matrix Dy (te lezen als "D subscript y") wordt ook wel de "y-matrix" genoemd met elementen a1 en c1 op de eerste rij, en elementen a2 en c2 op de tweede rij. Dit kan geschreven worden als, y-matrix, Dy = ."D subscript y") is also known as the "y-matrix" with elements a1 and c1 on the first row, and elements a2 and c2 on the second row. This can be written as, y-matrix, Dy = .](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ymat.gif)
Om voor de variabele x op te lossen.
![Om voor x op te lossen, is de formule, x = Dx/D = (determinant van x-matrix) gedeeld door (determinant van coëfficiëntenmatrix) = |c1,b1;c2,b2| / |a1,b1;a2,b2|.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/cramer_x.gif)
Om op te lossen voor de variabele y.
![Om voor y op te lossen, is de formule, y = Dy/D = (determinant van y-matrix) gedeeld door (determinant van coëfficiëntenmatrix) = |a1,c1;a2,c2| / |a1,b1;a2,b2|.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/cramer_y.gif)
Een paar aandachtspunten bij het bekijken van de formule:
1) De kolommen van \large{x}, \large{y}, en de constante termen \large{c} worden als volgt verkregen:
![2x1 matrices van de kolommen x, y en constante](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2020/01/columns.gif)
2) De beide noemers in het oplossen van \groot{x} en \groot{y} zijn gelijk. Ze komen uit de kolommen van \groot{x} en \groot{y}.
![D =](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2020/01/D-matrix.gif)
3) Als we naar de teller kijken bij het oplossen van \groot{x}, dan worden de coëfficiënten van de kolom \groot{x} vervangen door de constante-kolom (in rood).
![Dx=](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2020/01/D-sub-x-matrix.gif)
4) Op dezelfde manier, om op te lossen voor \groot{y}, worden de coëfficiënten van \groot{y}-kolom vervangen door de constante-kolom (in het rood).
![Dy=](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2020/01/D-sub-y-matrix.gif)
Voorbeelden van hoe je Oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen met twee variabelen met behulp van de regel van Cramer
Voorbeeld 1: Los het stelsel met twee variabelen op met de regel van Cramer
![de stelsels vergelijkingen met twee variabelen zijn 4x-3y=11 en 6x+5y=7](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex1-22.gif)
Start met het afleiden van de drie relevante matrices: coëfficiënt, \groot{x}, en \groot{y}. Los vervolgens elke overeenkomstige determinant op.
- Voor de coëfficiëntenmatrix
![Oplos de determinant van de coëfficiëntenmatrix D met de elementen 4 en -3 op de eerste rij, en de elementen 6 en 5 op de tweede rij. De determinant van matrix D = = |D| = |4,-3;6,5| = (4)(5) - (-3)(6) = 20 - (-18) = 20 + 18 = 38.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex1_cmat.gif)
- Voor X – matrix
![Oplos voor de determinant van de x-matrix D subscript x met elementen 11 en -3 op de eerste rij, en elementen 7 en 5 op de tweede rij. De determinant van de matrix Dx = = |Dx| = |11,-3;7,5| = (11)(5) - (-3)(7) = 55 - (-21) = 55 + 21 = 76.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex1_xmat.gif)
- Voor Y – matrix
![Oplos voor de determinant van de y-matrix D subscript y met elementen 4 en 11 op de eerste rij, en elementen 6 en 7 op de tweede rij. De determinant van de matrix Dy = = |Dx| = |4,11;6,7| = (4)(7) - (11)(6) = 28 - (66) = -38.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex1_ymat.gif)
Als alle drie de determinanten zijn berekend, is het tijd om de waarden van \groot{x} en \groot{y} op te lossen met de bovenstaande formule.
![Om op te lossen voor x, hebben we x = Dx/D = 76/38 = 2, en voor y, hebben we y = Dy/D = -38/38 = -1.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex1_final.gif)
Ik kan het uiteindelijke antwoord schrijven als \links( {x,y} \rechts) = \links( {2, – 1} \rechts)}.
Voorbeeld 2: Los het stelsel met twee variabelen op met de regel van Cramer
![de stelsels vergelijkingen met twee variabelen (namelijk, x en y) zijn 3x+5y=-7 en x+4y=-14](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex2-22.gif)
Stel je coëfficiënt-, \groot{x}- en \groot{y}-matrices op uit het gegeven stelsel lineaire vergelijkingen.
Bedenk dat we altijd de producten van de diagonale ingangen aftrekken.
- Voor de coëfficiëntenmatrix (gebruik de coëfficiënten van zowel de x- als de y-variabelen)
![Oplos de determinant van de coëfficiëntenmatrix D met de ingangen 3 en 5 op de eerste rij, en de ingangen 1 en 4 op de tweede rij. De determinant van matrix D = = |D| = |3,5;1,4| = (3)(4) - (5)(1) = 12 - (5) = 12 - 5 = 7.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex2_cmat.gif)
- Voor de X – matrix (vervang de x-kolom door de constante kolom)
![Oplos de determinant van x-matrix, ook bekend als D subscript x, met entries -7 en 5 op de eerste rij, en entries -14 en 4 op de tweede rij. De determinant van matrix Dx = = |D| = |-7,5;-14,4| = (-7)(4) - (5)(-14) = -28 - (-70) = -28 + 70 = 42.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex2_xmat.gif)
- Voor de Y – matrix (vervang de y-kolom door de constante kolom)
![Oplos de determinant van y-matrix, ook bekend als D subscript y, met de ingangen 3 en -7 op de eerste rij, en de ingangen 1 en -14 op de tweede rij. De determinant van matrix Dy = = |D| = |3,-7;1,-14| = (3)(-14) - (-7)(1) = -42 - (-7) = -42 + 7 = -35.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex2_ymat.gif)
Ik hoop dat je nu een beetje handig bent met het berekenen van de determinant van een 2-dimensionale matrix. Om uiteindelijk de vereiste variabelen op te lossen, krijg ik de volgende resultaten…
![Om voor x op te lossen, delen we de determinant van de x-matrix door de determinant van coëfficiëntenmatrix. Op dezelfde manier, om op te lossen voor y, delen we de determinant van de y-matrix door de determinant van de coefficientenmatrix. Dus, x = Dx/D = 42/7 = 6; y = Dy/D = -35/7 = -5. Dus het uiteindelijke antwoord is (x,y) = (6,-5).](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex2_final.gif)
Het uiteindelijke antwoord in puntnotatie schrijvend, kreeg ik {groot} {x,y} \right} = \left( {6, – 5} \right)}.
Voorbeeld 3: Los het stelsel met twee variabelen op met de Regel van Cramer
![x-4y=-9 en -x+5y=11](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex3-24.gif)
Dit probleem kan eigenlijk vrij eenvoudig worden opgelost met de Eliminatiemethode. Dit komt omdat de coëfficiënten van variabele x “hetzelfde” zijn, maar alleen tegengesteld in tekens ( +1 en -1 ). Om dit op te lossen met de eliminatie methode, voeg je de corresponderende kolommen toe en de x-variabele gaat weg – waardoor je een vergelijking in één stap overhoudt in \groot{y}. Ik vermeld dit omdat elke techniek tekortkomingen heeft en het het beste is om de meest efficiënte te kiezen. Vraag altijd aan je leraar of het goed is om een andere aanpak te gebruiken als de methode voor een bepaald probleem niet gespecificeerd is.
Nu we toch aan het leren zijn hoe we met de regel van Cramer kunnen oplossen, laten we het met deze methode gaan uitwerken.
Ik zal drie matrices construeren ( coëfficiënt, \groot{x} en \groot{y}) en de bijbehorende determinanten berekenen.
- Voor de coëfficiëntenmatrix
![Voor de coëfficiëntenmatrix D = , wordt de determinant als volgt opgelost: |D| = |1,-4;-1,5| = (1)(5) - (-4)(-1) = 5 - (4) = 1. Dus, |D| = 1.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex3_cmat.gif)
- Voor de X – matrix ( geschreven als hoofdletter D met subscript x )
![Voor de x-matrix Dx = , wordt de determinant als volgt opgelost: |Dx| = |-9,-4;11,5| = (-9)(5) - (-4)(11) = -45 - (-44) = -45 + 44 = -1. Dus, |Dx| = -1.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex3_xmat.gif)
- Voor de Y – matrix (geschreven als hoofdletter D met subscript y)
![Voor de y-matrix Dy = , wordt de determinant als volgt opgelost: |Dy| = |1,-9;-1,11| = (1)(11) - (-9)(-1) = 11 - (9) = 11 - 9 = 2. Dus, |Dy| = 2.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex3_ymat.gif)
Na het verkrijgen van de waarden van de drie vereiste determinanten, bereken ik \groot{x} en \groot{y} als volgt.
![Om de waarde van x op te lossen, deelt u de determinant van de x-matrix door de determinant van de coëfficiëntenmatrix. Op dezelfde manier, om op te lossen voor y, deel de determinant van de y-matrix door de determinant van de coefficientenmatrix. Dus, x = Dx/D = -1/1 = -1; y = Dy/D = 2/1 = 2. Het uiteindelijke antwoord is dus (x,y) = (-1,2).](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex3_final.gif)
Het uiteindelijke antwoord in de puntvorm is {x,y} \right) = \left( { – 1,2} \right)} .
Voorbeeld 4: Los met de regel van Cramer het stelsel met twee variabelen op
![het stelsel lineaire vergelijkingen met twee variabelen zijn -2x+3y=-3 en 3x-4y=5](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex4-24.gif)
Omdat we al een paar voorbeelden hebben doorgenomen, stel ik voor dat u dit probleem zelf uitprobeert. Vergelijk vervolgens uw antwoorden met de oplossing hieronder.
Als u het de eerste keer goed hebt, bent u een “pro” aan het worden met betrekking tot de Regel van Cramer. Als dat niet zo is, probeer er dan achter te komen wat er fout ging en leer om de volgende keer niet dezelfde fout te maken. Dit is hoe je beter wordt in wiskunde. Bestudeer veel soorten problemen en, nog belangrijker, oefen veel zelfstandig.
- Voor coëfficiëntenmatrix
![Oplossen voor de coëfficiëntenmatrix D, we hebben D = , de stappen om de determinant op te lossen is |D| = |-2,3;3,-4| = (-2)(-4) - (3)(3) = 8 - (9) = -1. En dus, |D| = -1.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex4_cmat.gif)
- Voor X – matrix
![Oplossen we voor de x-matrix Dx, dan hebben we Dx= , de stappen om de determinant op te lossen is |Dx| = |-3,3;5,-4| = (-3)(-4) - (3)(5) = 12 - (15) = -3. En dus, |Dx| = -3.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex4_xmat.gif)
- Voor de Y – matrix
![Oplossen we voor de y-matrix Dy, dan hebben we Dy = , de stappen om de determinant op te lossen is |Dy| = |-2,-3;3,5| = (-2)(5) - (-3)(3) = -10 - (-9) = -10 + 9 = -1. Dat maakt, |Dy| = -1.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex4_ymat.gif)
Hieronder zou je het antwoord moeten krijgen…
![Om de x op te lossen, hebben we x = Dx/D = -3/-1 = 3. Daarom is x gelijk aan 3. Om vervolgens voor y op te lossen, tonen we aan dat y = Dy/D = -1/-1 =1. Daarom is y gelijk aan 1.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex4_final.gif)
Voorbeeld 5: Los het stelsel met twee variabelen op met de regel van Cramer
![de op te lossen stelsels lineaire vergelijkingen zijn de volgende: 5x+y=-13, 3x-2y=0](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex5-20.gif)
Voor ons laatste voorbeeld heb ik een nul opgenomen in de kolom met de constante. Telkens wanneer je het getal nul in de constante kolom ziet, raad ik je ten zeerste aan de Regel van Cramer te gebruiken om het stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen. Waarom? Omdat de berekening van de determinanten voor de matrices \groot{x} en \groot{y} drastisch super eenvoudig wordt. Kijk zelf maar!
- Voor coëfficiëntenmatrix
![De determinant van de coëfficiënt D = wordt opgelost als |D| = |5,1;3,-2| = (5)(-2) - (1)(3) = -13.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex5_cmat.gif)
- Voor X – matrix
![De determinant van de x-matrix Dx = wordt opgelost als |Dx| = |-13,1;0,-2| = (-13)(-2) - (1)(0) = 26.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex5_xmat.gif)
- Voor Y – matrix
![De determinant van de y-matrix Dy = wordt opgelost als |Dy| = |5,-13;3,0| = (5)(0) - (-13)(3) = 0 + 39 = 39.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex5_ymat.gif)
De uiteindelijke oplossing van dit probleem is
![Om x op te lossen, delen we x-matrix door coëfficiëntenmatrix wat ons x = Dx/D = 26/-13 = -2 oplevert. Om y op te lossen delen we de y-matrix door de coëfficiëntenmatrix en dat geeft y = Dy/D = 39/-13 = -3.](https://www.chilimath.com/wp-content/uploads/2017/02/ex5_final.gif)
Practicum met werkbladen
Je bent misschien ook geïnteresseerd in:
Cramer’s Regel 3×3