Een 𝑛 ⨯ 𝑛 vierkante matrix 𝑸 wordt een orthogonale matrix genoemd als zijn 𝑛 kolom- en rijvectoren orthogonale eenheidsvectoren zijn. Meer specifiek, als de kolomvectoren lengte één hebben en paarsgewijs orthogonaal zijn; evenzo voor de rijvectoren.
Dit leidt tot de volgende karakterisering dat een matrix 𝑸 orthogonaal wordt als zijn getransponeerde gelijk is aan zijn inverse matrix.
- Waarom is de inverse matrix van 𝑸 zijn getransponeerde matrix?
Eigenschappen van orthogonale matrices
- 2.1 Elke orthogonale matrix is inverteerbaar
- 2.2 Het product van orthogonale matrices is ook orthogonaal
- 2.3 De determinant van orthogonale matrices
De determinant van een orthogonale matrix is gelijk aan 1 of -1. Aangezien det(A) = det(Aᵀ) en de determinant van product het product van determinanten is als A een orthogonale matrix is.
- 2.4 Behoud van lengtes en hoeken
- 2.5 Orthogonale matrices stellen een rotatie voor
Zoals in bovenstaande figuren is bewezen, blijven bij een orthogonale transformatie de lengtes en hoeken onveranderd. Ook is de determinant altijd 1 of -1, wat de volume-schaalfactor impliceert. Met andere woorden, de loodrechte transformatie laat hoeken en lengten onveranderd, en verandert het volume van het parallellepipedum niet. Hieruit kunnen we afleiden dat de loodrechte transformatie eigenlijk een rotatie is.
Referentie
https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix
https://www.quora.com/Why-do-orthogonal-matrices-represent-rotations
https://byjus.com/maths/orthogonal-matrix/
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m251f10/m251s10orthogonal.pdf
https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate-bases/orthonormal-basis/v/lin-alg-orthogonal-matrices-preserve-angles-and-lengths