Hermann Weyl opende een wiskundig-filosofische rede uit 1930 met:
Wiskunde is de wetenschap van het oneindige.
SymboolEdit
Het oneindigheidssymbool ∞ {{Displaystyle \infty }
(soms lemniscaat genoemd) is een wiskundig symbool dat het concept oneindigheid voorstelt. Het symbool is in Unicode gecodeerd als U+221E ∞ INFINITY (HTML∞∞) en in LaTeX als\infty.
Het werd in 1655 geïntroduceerd door John Wallis, en sinds de introductie is het ook buiten de wiskunde gebruikt in moderne mystiek en literaire symboliek.
CalculusEdit
Gottfried Leibniz, een van de mede-uitvinders van de infinitesimaalrekening, speculeerde veel over oneindige getallen en hun gebruik in de wiskunde. Voor Leibniz waren zowel infinitesimalen als oneindige hoeveelheden ideale entiteiten, niet van dezelfde aard als merkbare hoeveelheden, maar met dezelfde eigenschappen volgens de Wet van Continuïteit.
Reële analyseEdit
In de reële analyse wordt het symbool ∞ {{displaystyle \infty }
, “oneindig” genoemd, wordt gebruikt om een onbegrensde limiet aan te geven. De notatie x → ∞ {displaystyle xrightarrow \infty }
betekent dat x {\displaystyle x}
onbeperkt toeneemt, en x → – ∞ {\displaystyle x}tot -\infty }
betekent dat x {\displaystyle x}
onbeperkt afneemt. Bijvoorbeeld, als f ( t ) ≥ 0 {{displaystyle f(t)}
voor elke t {{displaystyle t}
, dan
- ∫ a b f ( t ) d t = ∞ {\displaystyle int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }
betekent dat f ( t ) {\displaystyle f(t)}
geen eindig gebied begrenst van a {\displaystyle a}
naar b . {\displaystyle b.}
- ∫ – ∞ ∞ f ( t ) d t = ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }
betekent dat het gebied onder f ( t ) {\displaystyle f(t)}
oneindig is.
- ∫ – ∞ ∞ f ( t ) d t = a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}
betekent dat het totale gebied onder f ( t ) {\displaystyle f(t)}
eindig is, en gelijk aan a. {\displaystyle a.}
Infiniteit kan ook worden gebruikt om oneindige reeksen te beschrijven, en wel als volgt:
- ∑ i = 0 ∞ f ( i ) = a {displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}
betekent dat de som van de oneindige reeksen convergeert naar een reële waarde a. {{\displaystyle a.}
- ∑ i = 0 ∞ f ( i ) = ∞ {\displaystyle sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }
betekent dat de som van de oneindige reeksen juist divergeert naar oneindig, in de zin dat de deelsommen onbeperkt toenemen.
Naast het definiëren van een limiet kan oneindig ook worden gebruikt als een waarde in het uitgebreide stelsel van de reële getallen. Punten met het label + ∞ {{displaystyle +{displaystyle +{displaystyle}}
en – ∞ {\displaystyle -\infty }
kunnen worden toegevoegd aan de topologische ruimte van de reële getallen, waardoor de tweepuntsverdichting van de reële getallen ontstaat. Door hier algebraïsche eigenschappen aan toe te voegen krijgen we de uitgebreide reële getallen. We kunnen ook + ∞ {\displaystyle +\infty }
en – ∞ {\displaystyle -\infty }
als hetzelfde, wat leidt tot de eenpuntsverdichting van de reële getallen, die de reële projectieve rechte is. Projectieve meetkunde verwijst ook naar een oneigenlijke rechte in de vlakke meetkunde, een oneigenlijk vlak in de driedimensionale ruimte, en een oneigenlijk hypervlak voor algemene dimensies, elk bestaande uit oneigenlijke punten.
Complexe analyseEdit
In de complexe analyse is het symbool ∞ {\displaystyle \infty }
, “oneindig” genoemd, duidt op een ongetekende oneindige limiet. x → ∞ {{\displaystyle x\rightarrow \infty }
betekent dat de grootheid | x | {\displaystyle |x|}
van x {\displaystyle x}
groter wordt dan een toegewezen waarde. Een punt met het label ∞ {\displaystyle \infty }
kan aan het complexe vlak worden toegevoegd als een topologische ruimte die de eenpuntsverdichting van het complexe vlak geeft. De aldus verkregen ruimte is een één-dimensionale complexe manifold, of Riemann-oppervlak, die men het uitgebreide complexe vlak of de Riemann-sfeer noemt. Men kan ook rekenkundige bewerkingen definiëren die gelijkaardig zijn aan deze voor de uitgebreide reële getallen, maar zonder onderscheid van teken (met als enige uitzondering dat men oneindig niet bij zichzelf kan optellen). Anderzijds maakt dit soort oneindigheid deling door nul mogelijk, namelijk z / 0 = ∞ {\displaystyle z/0=\infty }
voor elk niet-nul complex getal z {{\displaystyle z}
. In dit verband is het vaak nuttig om meromorfe functies te beschouwen als kaarten in de Riemannsfeer die de waarde ∞ {{\displaystyle \infty }
bij de polen. Het domein van een complexe functie kan uitgebreid worden om ook het punt op oneindig te omvatten. Een belangrijk voorbeeld van dergelijke functies is de groep van Möbius transformaties (zie Möbius transformatie § Overzicht).
Niet-standaard analyseEdit
De oorspronkelijke formulering van de infinitesimaalrekening door Isaac Newton en Gottfried Leibniz maakte gebruik van infinitesimale grootheden. In de 20e eeuw werd aangetoond dat deze behandeling op een rigoureuze leest kon worden geschoeid met behulp van verschillende logische systemen, waaronder gladde infinitesimaalanalyse en niet-normale analyse. In de laatste zijn infinitesimalen inverteerbaar, en hun inversen zijn oneindige getallen. De oneindigheden in deze zin maken deel uit van een hyperreëel veld; er is geen gelijkwaardigheid tussen hen zoals bij de Cantoriaanse transfinieten. Bijvoorbeeld, als H een oneindig getal is in deze zin, dan zijn H + H = 2H en H + 1 verschillende oneindige getallen. Deze benadering van niet-standaard calculus is volledig uitgewerkt in Keisler (1986).
Set theoryEdit
Een andere vorm van “oneindigheid” zijn de ordinale en kardinale oneindigheden van de verzamelingenleer – een systeem van transfiniete getallen dat voor het eerst door Georg Cantor werd ontwikkeld. In dit systeem is de eerste oneindige kardinaal aleph-null (ℵ0), de kardinaliteit van de verzameling natuurlijke getallen. Deze moderne wiskundige opvatting van het kwantitatieve oneindige ontwikkelde zich aan het eind van de 19e eeuw uit werken van Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind en anderen – met gebruikmaking van het idee van verzamelingen of verzamelingen.
Dedekind’s benadering was in wezen om het idee van één-op-één correspondentie over te nemen als standaard voor het vergelijken van de grootte van verzamelingen, en om de opvatting van Galileo (afgeleid van Euclides) te verwerpen dat het geheel niet even groot kan zijn als het deel (zie echter Galileo’s paradox waarin hij concludeert dat positieve vierkante gehele getallen even groot zijn als positieve gehele getallen). Een oneindige verzameling kan eenvoudig gedefinieerd worden als een verzameling die even groot is als ten minste één van haar eigenlijke delen; dit begrip van oneindigheid wordt Dedekind oneindig genoemd. Het diagram rechts geeft een voorbeeld: als we lijnen zien als oneindige verzamelingen van punten, dan kan de linker helft van de onderste blauwe lijn één-op-één (groene overeenkomsten) worden afgebeeld op de bovenste blauwe lijn, en op zijn beurt op de hele onderste blauwe lijn (rode overeenkomsten); de hele onderste blauwe lijn en de linker helft ervan hebben dus dezelfde kardinaliteit, d.w.z. “grootte”.
Cantor definieerde twee soorten oneindige getallen: ordinale getallen en kardinale getallen. Ordinale getallen karakteriseren goed geordende verzamelingen, of tellingen die doorgaan tot een willekeurig stoppunt, inclusief punten nadat al een oneindig aantal geteld is. De veralgemening van eindige en (gewone) oneindige rijen die overgangen zijn van de positieve gehele getallen, leidt tot overgangen van ordinale getallen naar transfiniete rijen. Kardinale getallen bepalen de grootte van verzamelingen, d.w.z. hoeveel leden zij bevatten, en kunnen worden gestandaardiseerd door het eerste rangtelwoord van een bepaalde grootte te kiezen om het kardinale getal van die grootte voor te stellen. De kleinste kardinale oneindigheid is die van de positieve gehele getallen, en elke verzameling die de kardinaliteit van de gehele getallen heeft is telbaar oneindig. Als een verzameling te groot is om in een één-op-één-relatie met de positieve gehele getallen te kunnen worden gebracht, wordt zij ontelbaar genoemd. De opvattingen van Cantor hebben de overhand gekregen en de moderne wiskunde aanvaardt feitelijke oneindigheid als onderdeel van een consistente en coherente theorie. Bepaalde uitgebreide getallenstelsels, zoals de hyperreële getallen, bevatten de gewone (eindige) getallen en oneindige getallen van verschillende grootte.
Kardinaliteit van het continuümEdit
Een van de belangrijkste resultaten van Cantor was dat de kardinaliteit van het continuüm c {displaystyle \mathbf {c} }
groter is dan die van de natuurlijke getallen ℵ 0 {\displaystyle {\aleph _{0}}}
; dat wil zeggen dat er meer reële getallen R zijn dan natuurlijke getallen N. Cantor toonde namelijk aan dat c = 2 ℵ 0 > ℵ 0 {\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}
(zie Cantor’s diagonaal argument of Cantor’s eerste ontelbaarheidsbewijs).
De continuümhypothese stelt dat er geen kardinaal getal is tussen de kardinaliteit van de realen en de kardinaliteit van de natuurlijke getallen, dat wil zeggen, c = ℵ 1 = ℶ 1 {displaystyle \mathbf {c} =ἀ _{1}=ἀ _{1}}
(zie Beth one). Deze hypothese kan niet bewezen of weerlegd worden binnen de algemeen aanvaarde Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer, zelfs niet als men uitgaat van het Axioma van de Keuze.
Met behulp van kardinale rekenkunde kan niet alleen worden aangetoond dat het aantal punten in een reële getallenlijn gelijk is aan het aantal punten in een willekeurig lijnstuk van die lijn, maar ook dat dit gelijk is aan het aantal punten op een vlak en, inderdaad, in elke eindig-dimensionale ruimte.
Het eerste van deze resultaten blijkt bijvoorbeeld uit de raaklijnfunctie, die een één-op-één-overeenkomst oplevert tussen het interval (-π/2, π/2) en R (zie ook Hilberts paradox van het Grand Hotel). Het tweede resultaat werd bewezen door Cantor in 1878, maar werd pas intuïtief duidelijk in 1890, toen Giuseppe Peano de ruimtevullende krommen introduceerde, kromme lijnen die voldoende kronkelen en draaien om een vierkant, kubus, hyperkubus of eindige-dimensionale ruimte in zijn geheel te vullen. Deze krommen kunnen worden gebruikt om een één-op-één correspondentie te definiëren tussen de punten aan één zijde van een vierkant en de punten in het vierkant.
MeetkundeEdit
Tot het einde van de 19e eeuw werd in de meetkunde zelden over oneindigheid gesproken, behalve in de context van processen die onbeperkt konden worden voortgezet. Een lijn bijvoorbeeld was wat men nu een lijnstuk noemt, met dien verstande dat men het zo ver kon verlengen als men wilde; maar oneindig verlengen was uitgesloten. Evenzo werd een lijn gewoonlijk niet beschouwd als bestaande uit oneindig veel punten, maar als een plaats waar een punt kan worden geplaatst. Zelfs als er oneindig veel mogelijke posities zijn, kan slechts een eindig aantal punten op een lijn worden geplaatst. Een getuige hiervan is de uitdrukking “de plaats van een punt dat aan een of andere eigenschap voldoet” (enkelvoud), waar moderne wiskundigen in het algemeen zouden zeggen “de verzameling van de punten die de eigenschap hebben” (meervoud).
Een van de zeldzame uitzonderingen van een wiskundig concept waarbij werkelijke oneindigheid betrokken is, was de projectieve meetkunde, waar oneindig veel punten aan de euclidische ruimte worden toegevoegd om het perspectivische effect te modelleren dat parallelle lijnen toont die elkaar “op oneindig” snijden. Wiskundig gezien hebben oneigenlijke punten het voordeel dat men sommige speciale gevallen buiten beschouwing kan laten. In een projectief vlak bijvoorbeeld snijden twee verschillende lijnen elkaar in precies één punt, terwijl er zonder oneigenlijke punten geen snijpunten voor evenwijdige lijnen zijn. Parallelle en niet-parallelle lijnen moeten in de klassieke meetkunde dus apart bestudeerd worden, terwijl ze in de projectieve meetkunde niet onderscheiden hoeven te worden.
Vóór het gebruik van de verzamelingenleer voor de grondslagen van de wiskunde, werden punten en lijnen als afzonderlijke entiteiten beschouwd, en kon een punt op een lijn worden geplaatst. Met het universele gebruik van de verzamelingenleer in de wiskunde is het gezichtspunt drastisch veranderd: een lijn wordt nu beschouwd als de verzameling van haar punten, en men zegt dat een punt tot een lijn behoort in plaats van zich op een lijn bevindt (de laatste uitdrukking wordt echter nog steeds gebruikt).
In het bijzonder zijn lijnen in de moderne wiskunde oneindige verzamelingen.
Oneindige dimensieEdit
De vectorruimten die in de klassieke meetkunde voorkomen hebben altijd een eindige dimensie, meestal twee of drie. Dit wordt echter niet geïmpliceerd door de abstracte definitie van een vectorruimte, en vectorruimten van oneindige dimensie kunnen worden beschouwd. Dit is typisch het geval in de functionaalanalyse, waar functieruimten in het algemeen vectorruimten van oneindige dimensie zijn.
In de topologie kunnen sommige constructies topologische ruimten van oneindige dimensie opleveren. In het bijzonder is dit het geval bij iterated loop spaces.
FractalsEdit
De structuur van een fractal object wordt herhaald in zijn vergrotingen. Fractals kunnen oneindig worden vergroot zonder hun structuur te verliezen en “glad” te worden; ze hebben oneindige omtrekken, en kunnen oneindige of eindige oppervlakten hebben. Een zo’n fractale kromme met een oneindige omtrek en eindige oppervlakte is de Koch sneeuwvlok.
Wiskunde zonder oneindigheidEdit
Leopold Kronecker was sceptisch over het begrip oneindigheid en de manier waarop zijn collega-wiskundigen het in de jaren 1870 en 1880 gebruikten. Dit scepticisme werd ontwikkeld in de filosofie van de wiskunde die finitisme werd genoemd, een extreme vorm van wiskundige filosofie binnen de algemene filosofische en wiskundige scholen van constructivisme en intuïtionisme.