Pythagoreïsche stelling, de bekende meetkundige stelling dat de som van de kwadraten op de benen van een rechthoekige driehoek gelijk is aan het kwadraat op de schuine zijde (de zijde tegenover de rechte hoek)-of, in de bekende algebraïsche notatie, a2 + b2 = c2. Hoewel de stelling lang in verband is gebracht met de Griekse wiskundige-filosoof Pythagoras (ca. 570-500/490 v. Chr.), is zij in feite veel ouder. Vier Babylonische tabletten uit circa 1900-1600 v. Chr. duiden op enige kennis van de stelling, met een zeer nauwkeurige berekening van de vierkantswortel uit 2 (de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek waarvan de lengte van beide benen gelijk is aan 1) en lijsten van speciale gehele getallen, Pythagoreïsche driehoeken genoemd, die aan de stelling voldoen (b.v. 3, 4 en 5; 32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). De stelling wordt vermeld in de Baudhayana Sulba-sutra van India, die tussen 800 en 400 v. Chr. werd geschreven. Niettemin werd de stelling toegeschreven aan Pythagoras. Het is ook stelling nummer 47 uit Boek I van Euclides’ Elementen.
Volgens de Syrische historicus Iamblichus (ca. 250-330 ce) maakte Pythagoras kennis met de wiskunde door Thales van Miletus en diens leerling Anaximander. In ieder geval is bekend dat Pythagoras omstreeks 535 v. Chr. naar Egypte reisde om zijn studie voort te zetten, dat hij in 525 v. Chr. tijdens een invasie door Cambyses II van Perzië gevangen werd genomen en naar Babylon werd overgebracht, en dat hij mogelijkerwijs India bezocht alvorens naar het Middellandse-Zeegebied terug te keren. Pythagoras vestigde zich spoedig in Croton (nu Crotone, Italië) en stichtte een school, of in moderne termen een klooster (zie Pythagoreanisme), waar alle leden een strikte gelofte van geheimhouding aflegden, en alle nieuwe wiskundige resultaten gedurende verscheidene eeuwen werden aan zijn naam toegeschreven. Niet alleen is het eerste bewijs van de stelling dus niet bekend, er bestaat ook twijfel over of Pythagoras zelf de stelling die zijn naam draagt wel heeft bewezen. Sommige geleerden suggereren dat het eerste bewijs het bewijs was dat in de figuur wordt getoond. Het is waarschijnlijk onafhankelijk van elkaar ontdekt in verschillende culturen.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Boek I van de Elementen eindigt met Euclides’ beroemde “windmolen”-bewijs van de stelling van Pythagoras. Later, in Boek VI van de Elementen, levert Euclides een nog eenvoudiger bewijs door de stelling te gebruiken dat de oppervlakten van gelijkvormige driehoeken evenredig zijn met de kwadraten van hun overeenkomstige zijden. Blijkbaar heeft Euclides het bewijs van de windmolen uitgevonden om de stelling van Pythagoras als sluitsteen van Boek I te kunnen plaatsen. Hij had nog niet aangetoond (zoals hij in Boek V zou doen) dat lijnlengtes in verhoudingen kunnen worden gemanipuleerd alsof het commensurabele getallen waren (gehele getallen of verhoudingen van gehele getallen). Het probleem waarmee hij werd geconfronteerd wordt uitgelegd in de zijbalk: Incommensurables.
Er zijn veel verschillende bewijzen en uitbreidingen van de stelling van Pythagoras uitgevonden. Als eerste uitbreiding toonde Euclides zelf in een in de oudheid geprezen stelling aan dat alle symmetrische regelmatige figuren getekend op de zijden van een rechthoekige driehoek voldoen aan de Pythagoreïsche relatie: de figuur getekend op de schuine zijde heeft een oppervlakte gelijk aan de som van de oppervlakten van de figuren getekend op de benen. De halve cirkels die de lunes van Hippocrates van Chios definiëren zijn voorbeelden van zo’n uitbreiding. (Zie zijbalk: Kwadratuur van de lune.)
In de Negen Hoofdstukken over de Wiskundige Procedures (of Negen Hoofdstukken), samengesteld in de 1e eeuw ce in China, worden verschillende problemen gegeven, samen met hun oplossingen, die betrekking hebben op het vinden van de lengte van een van de zijden van een rechthoekige driehoek wanneer de andere twee zijden gegeven zijn. In het Commentaar van Liu Hui, uit de 3e eeuw, geeft Liu Hui een bewijs van de stelling van Pythagoras, waarbij hij de vierkanten van de benen van de rechthoekige driehoek opknipt en herschikt (“tangramstijl”) zodat ze overeenkomen met het vierkant van de schuine zijde. Hoewel zijn originele tekening niet bewaard is gebleven, toont de volgende figuur een mogelijke reconstructie.
Encyclopædia Britannica, Inc.
De stelling van Pythagoras fascineert mensen al bijna 4000 jaar; er zijn nu meer dan 300 verschillende bewijzen, waaronder die van de Griekse wiskundige Pappus van Alexandrië (bloeide ca. 320 ce), de Arabische wiskundige-fysicus Thābit ibn Qurrah (ca. 836-901), de Italiaanse kunstenaar-uitvinder Leonardo da Vinci (1452-1519), en zelfs de Amerikaanse presidentskandidaat James Garfield (1831-81).