De Chicago maths. bibliography heeft me echt geholpen, hier is bijvoorbeeld het elementaire deel (voor lineaire algebra kun je het vinden in het intermediaire deel, zie de link)
ELEMENTARY
Dit omvat “high school topics” en eerstejaars calculus.
Inhoud
- Algebra (4)
- Meetkunde (2)
- Grondslagen (1)
- Probleemoplossen (4)
- Calculus (6)
- Bruggen naar tussenliggende onderwerpen (2)
Algebra
Gelfand/Shen, Algebra
Gelfand/Glagoleva/Shnol, Functies en grafieken
Gelfand/Glagoleva/Kirillov, De methode van coördinaten
Deze drie kleine witte boekjes zijn afkomstig van de Sovjet-correspondentieschool in wiskunde, geleid door I. M. Gelfand voor belangstellenden van alle leeftijden in de verste uithoeken van de USSR. In plaats van te proberen kunstmatig “nuchter” te zijn zoals Amerikanen dat doen, gaat Gelfand er gewoon van uit dat je de wiskunde kunt begrijpen zoals die wordt gedaan (en vermijdt hij de formele complexiteiten waar wiskundigen aan gewend zijn). YSP en SESAME delen ze uit aan hun studenten, die ze meestal geweldig vinden. TMoC is opmerkelijk vanwege zijn intrigerende vier-assig schema voor het maken van platte grafieken van R4. Over het geheel genomen een frisse, inspirerende kijk op onderwerpen die we als vanzelfsprekend beschouwen, en een goede aanrader voor pientere jongere leerlingen of vrienden (of ouders!)
Cohen, Precalculus met eenheidscirkel-trigonometrie
Ik heb dit boek op de middelbare school gebruikt en ik vond het absoluut geweldig. Het is erg karig met bewijzen, en zou eigenlijk niet gebruikt moeten worden voor dat soort inzicht. Maar als je wilt begrijpen hoe je verschillende wiskundige concepten moet toepassen, is het geweldig. Het heeft een groot aantal grafieken, voorbeelden, en gemakkelijke referentie tabellen. Het behandelt alle algebra, trigonometrie en cartesische meetkunde die een goede wiskundereeks op de middelbare school zou moeten behandelen. Ik gebruik het al jaren als naslagwerk (bijvoorbeeld, wat is de regel van Cramer ook alweer precies…) Oplossingen voor een aantal van de problemen staan achterin, en de problemen zijn niet helemaal toepassingen.
Geometrie
Euclides, De elementen
Nee, ik maak geen grapje. In het begin is het ongelooflijk vervelend en vervelend om te lezen, maar na een tijdje raak je in de flow van de taal en de stijl. Euclides leert je zowel de kracht van de moderne algebraïsche methoden als de dingen die verborgen zitten in ons instinct om een getal aan een lengte toe te kennen. Bovendien zijn er hier en daar prachtige weetjes (wist je dat Euclides de Dedekind-snede heeft uitgevonden?). Bekijk het op zijn minst een keer, om zijn bewijs van de stelling van Pythagoras te lezen. (Met dank aan Jonathan Beere (’95) die me ervan heeft overtuigd dat het de moeite waard was.)
Ik heb deel I, en ik moet toegeven dat ik het nog niet echt heb gelezen. Ik denk wel dat ik er baat bij zou hebben als iemand me er iets van door de strot zou duwen, want tegenwoordig worden wij studenten opgeleid om “geometrisch” als een sterk pejoratief te beschouwen – het tegendeel van striktheid en bewijzen.
Coxeter, Geometry revisited
Dit is een tekst over “geavanceerde Euclidische meetkunde”, die begint met de talloze klassieke “middelpunten” van een driehoek en van daaruit verder gaat. Veel goede oefeningen. Er zijn veel “college geometry” teksten waarin je dit kunt vinden, maar de meeste zijn gericht op wiskundestudenten; dit boek en Coxeter’s andere (zie hieronder) verslaan ze allemaal.
Ik vind dit een goed boek. Ik heb het niet in mijn bezit, maar ik heb het meer dan eens doorgebladerd en ik ben het ermee eens dat het een aangenaam niet-hersendood gehalte heeft. Er staan interessante meetkundige feiten in die je waarschijnlijk nog niet eerder hebt gezien.
Foundations
Rucker, Infinity and the mind
Dit is niet echt een wiskundeboek. Het is een vriendelijke inleiding tot het concept van oneindigheid, transfiniete getallen, en verwante paradoxen. Ik zou het aanraden aan middelbare scholieren die geïnteresseerd zijn in wiskunde, maar er nog niet aan toe zijn om bewijs na bewijs van stellingen door te nemen. (In feite heb ik het voor het eerst gelezen op de middelbare school als onderdeel van een onafhankelijke studie wiskunde). Het boek bevat wel wat bewijzen, maar niet in de rigoureuze vorm van een standaard wiskundetekst. Het bevat meer historische achtergrond over de concepten dan de meeste wiskunde teksten doen, wat leuk is. Bij elk hoofdstuk staan problemen, en een antwoordsleutel (met uitleg) staat achterin het boek.
Oplossen van problemen (pre-college)
NML-probleemboeken
De MAA geeft een serie uit onder de naam “New Mathematical Library”, die veel uitstekende titels bevat op of onder college sophomore niveau (Geometry revisited is er een van). In deze serie zijn vier boeken van problemen gegeven op de AHSME, een van USAMO en twee van IMO problemen, allemaal met oplossingen. We gebruiken de AHSME-boeken uitgebreid bij YSP; de USAMO- en IMO-problemen bezorgen me nog steeds een zware tijd, en zijn leuk als je op een avond op zoek bent naar frustratie.
Larson, Problem solving through problems
Als je een tijdje met de IMO-problemen hebt geworsteld, vind je hier een boek dat je (voor zover een boek dat kan) de kunst van het oplossen leert. Cognitieve strategieën worden uiteengezet met voorbeelden van problemen (meestal uit Olympiades en Putnams) waarop ze van toepassing zijn.
Ik bezit dit, althans dat deed ik – ik heb het sinds de middelbare school niet meer gezien. Ik ben echt geen grote wedstrijdprobleemoplosser, maar ik heb dit boek wel gebruikt en ik denk dat het me heeft geholpen me voor te bereiden op Chicago Mathematics. Veel goede problemen, niet allemaal onzinnig.
Pólya, How to solve it
Ik heb dit niet gelezen, maar het wordt verondersteld de “klassieke” versie van Larson hierboven te zijn.
Pólya, Mathematics and plausible reasoning, I and II
Dit zijn de “vervolgen” op Pólya’s How to solve it. Ze zijn zeker interessant, hoewel hun hoofdinteresse misschien psychologisch/filosofisch is (alleen met betrekking tot wiskunde lopen filosofie en psychologie in elkaar over!) Ik weet niet zeker of je echt een significant betere probleemoplosser kunt worden door een boek te lezen over de aard van wiskundig redeneren, maar ik bewonder Pólya voor het schrijven van een interessant en uitdagend boek over de praktijk van de wiskunde; zulke boeken zijn er naar mijn mening te weinig en te ver uit.
In 1997-98 zijn er een paar boeken verschenen met hetzelfde algemene thema als Larson, maar verschillende probleemverzamelingen; ik heb er geen enkele van gezien.
Calculus
Natuurlijk is, zoals we allemaal weten, het Ene Echte Calculusboek
Spivak, Calculus
Dit is een boek dat iedereen zou moeten lezen. Als je geen calculus kent en je hebt de tijd, lees het en maak alle oefeningen. In deel 1 en 2 leerde ik eindelijk wat een limiet was, na drie jaar van slechte “uitleg” uit rekenboeken. Het geheel is de meest samenhangende en begrijpelijke behandeling van één-variabele calculus die ik ooit heb gezien (je kunt overal zien dat Spivak een visie heeft op wat hij probeert te leren).
Het boek heeft natuurlijk gebreken. De oefeningen worden een beetje eentonig omdat Spivak een paar trucjes heeft die hij graag herhaaldelijk gebruikt, en misschien gaan er te weinig over toepassingen (maar dat soort oefeningen kun je in elk boek vinden). Ook vermijdt hij soms verfijning ten koste van de duidelijkheid, zoals in de bewijzen van de Drie Moeilijke Stellingen in hoofdstuk 8 (waar veel epsilon-geduw de plaats inneemt van de woorden “compact” en “verbonden”). Desalniettemin is dit het beste calculusboek in het algemeen, en ik heb gezien dat het bij veel mensen een geweldige hersencorrectie heeft uitgevoerd.
Ja, het is goed, hoewel misschien meer van de genegenheid komt van meer gevorderde studenten die er nog eens doorheen bladeren? Het grootste deel van mijn kennis van dit boek komt van het geven van bijlessen en het beoordelen van 161, maar ik geloof echt dat het werken met zoveel mogelijk problemen (het moet worden toegegeven dat veel van hen moeilijk zijn voor eerstejaars studenten, en een paar van hen zijn echt moeilijk!) van onschatbare waarde is voor het ontwikkelen van de wiskundige rijpheid en epsilonische techniek die geen enkele wiskundestudent zou mogen missen.
Andere calculusboeken die de moeite waard zijn, en waarom:
Spivak, The hitchhiker’s guide to calculus
Precies wat de titel zegt. Ik heb het niet gelezen, maar veel 130s studenten vinden het geweldig.
Hardy, A course of pure mathematics
Courant, Differential and integral calculus
Deze twee zijn voor “cultuur”. Het zijn klassieke behandelingen van de calculus, uit de tijd dat een wiskundeboek nog rigoureus was, punt. Hardy richt zich meer op conceptuele elegantie en ontwikkeling (beginnend met het opbouwen van R). Courant gaat verder in op toepassingen dan gebruikelijk is (inclusief zoveel mogelijk over Fourier analyse als je kunt doen zonder Lebesgue integratie). Ze zijn oud, en oude boeken zijn moeilijk te lezen, maar meestal de moeite waard. (Denk aan wat Abel zei over het lezen van de meesters en niet de leerlingen!)
Apostol, Calculus
Dit is “de andere” moderne rigoureuze tekst voor calculus. Leest als een tekst op hoger niveau: lemma-theorema-bewijzen-corollarium. Droog maar uitgebreid (het tweede deel omvat multivariabele calculus).