Objectivos de Aprendizagem
Ao final desta secção, será capaz de o fazer:
- Definir superfícies equipotenciais e linhas equipotenciais
- Explicar a relação entre linhas equipotenciais e linhas de campo eléctrico
- Li>Linhas equipotenciais para cargas de um ou dois pontos
- Descrever o potencial de um condutor
- Comparar e contrastar linhas equipotenciais e linhas de elevação em mapas topográficos
Podemos representar os potenciais eléctricos (voltagens) pictóricos,tal como fizemos desenhos para ilustrar campos eléctricos. Isto não é surpreendente, uma vez que os dois conceitos estão relacionados. Considere-se a Figura 1, que mostra uma carga isolada de ponto positivo e as suas linhas de campo eléctrico, que irradiam de uma carga positiva e terminam em cargas negativas. Utilizamos setas azuis que rasgam a magnitude e direcção do campo eléctrico, e utilizamos linhas verdes para representar locais onde o potencial eléctrico é contido. Estas são chamadas superfícies equipotenciais em três dimensões, linhas de orequipotenciais em duas dimensões. O termo equipotencial é também utilizado como substantivo asa, referindo-se a uma linha ou superfície equipotencial. O potencial para uma carga pontual é o mesmo em qualquer lugar numa esfera imaginária de raio r que rodeia a carga. Isto é verdade porque o potencial para uma carga pontual é dado por \(V = kq/r\)e, portanto, tem o mesmo valor em qualquer ponto que seja um dado distanciador da carga. Uma esfera equipotencial é um círculo na visão bidimensional da Figura (PageIndex{1}}). Porque as linhas de campo eléctrico apontam radialmente para longe da carga, sãoperpendiculares às linhas equipotenciais.
É importante notar que as linhas equipotenciais são sempre perpendiculares às linhas do campo eléctrico. Não é necessário nenhum trabalho ao longo de um equipotencial, uma vez que {\Delta V = 0}). Assim, o trabalho é
p>p>Trabalho é zero se a direcção da força for perpendicular ao deslocamento. A força está na mesma direcção que a do E, o somotion ao longo de um equipotencial deve ser perpendicular ao E. Moreprecisamente, o trabalho está relacionado com o campo eléctrico por
&= q\vec{E} \cdot {dec{d} \não numero &= qEd, {\an1}, {\an1}theta {\an1}div id&= 0. \Não número Fim de número Não número
Nota que na equação Ref{eq5}, E(E) e F(F) simbolizam as grandezas do campo eléctrico e força, respectivamente. Nem a q(q) nem a E(E) são zero e a d(d) também não é zero. Por isso, os custos devem ser 0, o que significa que deve ser 90^o). Por outras palavras, o movimento ao longo de um equipotencial é perpendicular aE.
Uma das regras para campos eléctricos estáticos e condutores é que o campo eléctrico deve ser perpendicular à superfície de qualquer condutor. Isto implica que um condutor é uma superfície equipotencial em situações estáticas. Uma das utilizações deste facto é que um condutor pode ser fixado no que consideramos ser zero volts ligando-o à terra com o condutor de agood – um processo de ligação à terra. A ligação à terra pode ser uma ferramenta útil para a segurança. Por exemplo, a ligação à terra da caixa metálica de um aparelho eléctrico assegura que está a zero volts em relação à terra.
p>Porque um condutor é um equipotencial, pode substituir qualquer superfícieequipotencial. Por exemplo, na Figura \PageIndex{2}}, um condutor esférico carregado pode substituir a carga pontual, e o campo eléctrico e potenciais superfícies fora dele serão trocados, confirmando a alegação de que uma distribuição esférica carregada é equivalente a uma carga pontual no seu centro.
Figura \PageIndex{2}} mostra o campo eléctrico e as linhas de equipotenciais para duas cargas iguais e opostas. Dadas as linhas do campo eléctrico, as linhas equipotenciais podem ser desenhadas simplesmente tornando-as perpendiculares às linhas do campo eléctrico. Inversamente, dadas as linhas equipotenciais, como na figura 2a), as linhas do campo eléctrico podem ser desenhadas tornando-as perpendiculares aos equipotenciais, como na figura 2b).
Para melhorar a sua intuição, mostramos uma variação tridimensional do potencial num sistema com duas cargas opostas. Figura\(\PageIndex{4}) mostra um mapa tridimensional do potencial eléctrico, onde as linhas no mapa são para superfícies equipotenciais. O monte está na carga positiva, e o canal na carga então negativa. O potencial é zero longe das cargas. Note-se que o corte num determinado potencial implica que as cargas estão em esferas condutoras com um raio finito.
Figure\(\PageIndex{4}{4}): Mapa de potencial eléctrico de duas cargas opostas de igual magnitude em esferas condutoras. O potencial é negativo perto da carga negativa e positivo perto da carga positiva. Esta imagem dinâmica é alimentada por CalcPlot3D e pode ser vista aqui.
Um mapa bidimensional do plano transversal que contém ambas as cargas é mostrado na Figura {5}(\PageIndex{5}). A linha que está equidistante das duas cargas opostas corresponde ao zeropotencial, uma vez que nos pontos da linha, o potencial positivo da carga positiva cancela o potencial negativo da carga então negativa. As linhas equipotenciais nos laços fechados do plano transversal, que não são necessariamente círculos, visto que em cada ponto, o potencial líquido é a soma dos potenciais de cada carga.
Nota
p>Ver esta simulação para observar e modificar as superfícies equipotenciais e campos eléctricos para muitas configurações de cargas padrão. Há muito a explorar.
Um dos casos mais importantes é o das placas paralelas condutoras familiares mostradas na Figura {6}(PageIndex{6}). Entre as placas, os equipotenciais estão uniformemente espaçados e paralelos. O mesmo campo poderia ser mantido colocando as placas condutoras nas linhas equipotenciais nos potenciais mostrados.
Exemplo {1}(PageIndex{1}): CalculatingEquipotential Lines
Viu as linhas equipotenciais de uma carga pontual emFigure {1}(PageIndex{1}}). Como é que as calculamos? Por exemplo, se tivermos uma carga \(+10-nC\) na origem, quais são as superfícies equipotenciais em que o potencial é (a) 100 V, (b) 50 V, (c) 20 V, e (d) 10 V?
Estratégia
P>Definir a equação para o potencial de uma carga pontual igual a constante e resolver para a(s) variável(s) restante(s). Depois calcular os valores conforme necessário.
Solução
Em \(V = k\dfrac{q}{r}), deixar V ser uma constante. A única variável dominante é r; daí, \(r = k\dfrac{q}{V} =constante\). Assim, as superfícies equipotenciais são esferas sobre a origem da teorigem. As suas localizações são:
- \(r = k\dfrac{q}{V} = {esquerda(8.99 vezes 10^9, Nm^2/C^2=direita)|dfrac{(10 vezes 10^{-9} C)}{100, V} = 0.90, m^);
li>(r = k\dfrac{q}{V} = {esquerda(8.99 vezes 10 ^9, Nm^2/C^2 {direita)|dfrac{(10 ^^ vezes 10^{-9} C)}{50 }, V} = 1.8 \, m\);li>\(r = k\dfrac{q}{V} = esquerda(8,99 \, Nm^2/C^2}direita)\dfrac{(10 \, V} = 4.5 \, m\);li>\(r = k\dfrac{q}{V} = esquerda(8.99 ^9, Nm^2/C^2\direita)\dfrac{(10 ^^ vezes 10^{-9} C)}{10, V} = 9.0 ^, m).
Significado
Isto significa que superfícies equipotenciais em redor de uma carga pontual de aresferas de raio constante, como mostrado anteriormente, com localizações bem definidas.
Exemplo \\(\PageIndex{2}): PotentialDifference between Oppositely Charged Parallel Plates
Duas grandes placas condutoras transportam cargas iguais e opostas, com uma densidade de carga de superfície de magnitude {(6,81 ^{-7} C/m^), como mostrado na Figura {8}(PageIndex{8}). A separação entre as placas é \(l = 6,50 \, mm\).
- Qual é o campo eléctrico entre as placas?
- Qual é a diferença potencial entre as placas?
- Qual é a distância entre os planos equipotenciais que diferem por 100 V?
Strategy
- li>Desde que as placas são descritas como “grandes” e a distância entre elas não é, vamos aproximar-nos de cada uma delas como plano finito, e aplicar o resultado da lei de Gauss no capítulo anterior.
- li>Desde que o campo eléctrico seja constante, encontrar a razão de 100 V para a diferença potencial total; depois calcular esta fracção da distância.
li>Use \(\Delta V_{AB} = – \int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}).
Solução
a. O campo eléctrico é dirigido do positivo para o negativo, como mostra a figura, e a sua magnitude é dada por
\\div id&
= \dfrac{6.81 \frac{6.81 \frac{7} vezes 10^{-7} C/m^2}{8.85 ^ 10^{-12} C^2/N\cdot m^2} \\&= 7,69 vezes 10^4, V/m. \end{align*}]
b. Para encontrar a diferença potencial entre as placas, utilizamos um caminho do negativo para o positivo da placa dirigida contra o campo. O vector de deslocamento (dvec{l})e o campo eléctrico (dvec{E) são antiparalelos, pelo que dvec{E}cdot dvec{l = – E, dl). A diferença potencial entre a placa positiva e a placa negativa é então
>div id&= E \int dl &= El \\\ &= (7.69 10^4V/m)(6,50 10^{-3}m) {div id&= 500 \, V {alinhamento*}]
c. A diferença potencial total é de 500 V, pelo que 1/5 da distância entre as placas será a distância entre as diferenças de 100-Vpotenciais. A distância entre as placas é de 6,5 mm,portanto haverá 1,3 mm entre as diferenças potenciais de 100-V.
Significação
p>Vocês viram agora um cálculo numérico das localizações dos potenciais entre duas placas paralelas carregadas.
Exercicio \(\PageIndex{1})
Quais são as superfícies equipotenciais para uma linecharge infinita?
Resposta
cilindros infinitos de raio constante, com a carga de linha a montante do eixo
Distribuição de cargas em condutores
No exemplo \\i(PáginaIndex{1}) com uma carga pontual, descobrimos que as superfícies equipotenciais tinham a forma de esferas, com a carga pontual no centro. Dado que uma esfera condutora de equilíbrio ineletrostático é uma superfície equipotencial esférica, seria de esperar que pudéssemos substituir uma das superfícies em Example(\PageIndex{2}{2}) por uma esfera condutora e ter uma solução idêntica fora da esfera. No interior será bastante diferente,contudo.
Para investigar isto, considere a esfera condutora isolada deFigure {\PageIndex{9}} que tem um raio R e um excesso de carga q. Para encontrar o campo eléctrico tanto dentro como fora da esfera, note que a esfera está isolada, pelo que a sua distribuição de mudança de superfície e o campo eléctrico dessa distribuição são esféricos simétricos. Podemos, portanto, representar o campo como \\vec{E} = E(r)hat{r}). Para calcular a lei de Gauss sobre uma superfície esférica fechada S ofradius r que é concêntrica com a esfera condutora, uma vez que é constante e que a lei de Gauss é constante na esfera,
&
=E(r) 4\pi r^2. \End{align}]
For {r < R\i}, {S}, está dentro do condutor, por isso lembre-se do seu estudo anterior da lei de Gauss que { q_{enc} = 0\i} e Gauss’slaw dá {(E(r) = 0\i}, como esperado dentro de um atequilíbrio condutor. Se \(r > R\), S encerra o condutor so\(q_{enc} = q\). Da lei de Gauss,
p>
O campo eléctrico da esfera pode, portanto, ser escrito como
/p>
e
p>>/p>p> Como se esperava, na região \(r \geq R\), o campo eléctrico devido a uma carga q colocada sobre uma esfera condutora isolada ofradius R é idêntico ao campo eléctrico de uma carga pontual q localizada no centro da esfera.
Para encontrar o potencial eléctrico dentro e fora da esfera, note-se que para \(r \geq R\), o potencial deve ser o mesmo que o de uma carga pontual isolada q localizada em \(r = 0\),
simplesmente devido à semelhança do campo eléctrico.
Para \(r < R, \, E = 0\), portanto V(r) éconstante nesta região. Uma vez que \(V(R) = q/4\pi \pi \epsilon_0 R\),
p>>p> Usaremos este resultado para mostrar que
p>p> para duas esferas condutoras de raios \(R_1\) e \(R_2\), com densidades de carga de superfície, respectivamente, que estão ligadas por um fio fino, como mostra a Figura 10). As esferas são suficientemente separadas de modo a que possam ser tratadas como se estivessem isoladas (para além do fio). Note-se que a ligação pelo fio significa que todo este sistema deve ser um equipotencial.
Apenas vimos que o potencial eléctrico à superfície de uma esfera condutora isolada e carregada de raio Ris
>p>>p> Agora, as esferas estão ligadas por um condutor e têm, portanto, o mesmo potencial; portanto
\ e
\
A carga líquida numa esfera condutora e a sua densidade de carga superficial estão relacionadas por \(q = \sigma (4\pi R^2)\). Substituindo esta sequência pela anterior, encontramos
\\
p>Obviamente, duas esferas ligadas por um fio fino não constituem um condutor típico com um raio de curvatura variável. No entanto, este resultado dá pelo menos uma ideia qualitativa de como a densidade de carga varia sobre a superfície de um condutor. A equação indica que onde o raio de curvatura é grande (pontos B e D em PageIndex (11)), E são pequenos.
Simplesmente, as cargas tendem a ser mais densas onde a curvatura da superfície é maior, como demonstrado pela distribuição da carga em metal de forma estranha (Figura PageIndex (11)). A densidade de carga superficial é maior em locais com um pequeno raio de curvatura do que em locais com um grande raio de curvatura.
Uma aplicação prática deste fenómeno é a haste de iluminação, que é simplesmente uma haste metálica aterrada com uma extremidade pontiaguda para cima. À medida que a carga positiva se acumula no solo devido à sobrecarga de nuvens anegativamente carregadas, o campo eléctrico em torno deste ponto de afiação torna-se muito grande. Quando o campo atinge um valor aproximado de \(3,0 \possível 10^6 N/C\) (a força dieléctrica do ar), os iões livres no ar são acelerados para energias tão elevadas que as suas colisões com as moléculas de ar ionizam realmente as moléculas. Os electrões livres no ar resultantes fluem então através da haste para a Terra, neutralizando assim alguma da carga positiva. Isto evita que o campo eléctrico entre a nuvem e o solo se torne suficientemente grande para produzir um raio na região à volta da vareta.
Uma importante aplicação de campos eléctricos e equipotentiallinas envolve o coração. O coração depende de sinais eléctricos para manter o seu ritmo. O movimento dos sinais eléctricos faz com que as câmaras do coração se contraiam e relaxam. Quando uma pessoa tem um ataque cardíaco, o movimento destes sinais eléctricos pode perturbar o seu ritmo. Um pacemaker artificial e um desfibrilador podem ser utilizados para iniciar o ritmo dos sinais eléctricos. As equipotentiallinas em torno do coração, a região torácica e o eixo do coração são formas úteis de monitorizar a estrutura e as funções do coração. Um electrocardiograma (ECG) mede os pequenos sinais eléctricos gerados durante a actividade do coração.
P>PheT
Tocar com esta simulação para mover cargas de pontos no campo de jogo e depois visualizar o campo eléctrico, tensões, linhas equipotenciais, e muito mais.
Contribuidores e Atribuições
- p>Samuel J. Ling (Truman State University), Jeff Sanny (Loyola Marymount University), e Bill Moebs com muitos autores contribuintes. Esta obra é licenciada pela OpenStax University Physics sob uma Licença Creative Commons Attribution License (por 4.0).