O que é a Lei de Biot Savart
A Lei de Biot Savart é uma equação que descreve o campo magnético gerado por uma corrente eléctrica constante. Relaciona o campo magnético com a magnitude, direcção, comprimento, e proximidade da corrente eléctrica. A Lei de Biot-Savart é consistente tanto com a lei circuital de Ampere como com o teorema de Gauss. A lei de Biot Savart é fundamental para a magnetostática, desempenhando um papel semelhante ao da lei de Coulomb na electrostática.
A lei Biot-Savart foi criada por dois físicos franceses, Jean Baptiste Biot e Felix Savart derivaram a expressão matemática da densidade do fluxo magnético num ponto devido a um condutor de corrente próximo, em 1820. Vendo a deflexão de uma agulha de compasso magnético, estes dois cientistas concluíram que qualquer elemento de corrente projecta um campo magnético para o espaço à sua volta.
Através de observações e cálculos, eles derivaram uma expressão matemática, que mostra, a densidade do fluxo magnético do qual dB, é directamente proporcional ao comprimento do elemento dl, a corrente I, o seno do ângulo e θ entre a direcção da corrente e o vector que une um dado ponto do campo magnético e o elemento de corrente e é inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto dado do elemento de corrente, r.
Declaração da lei Biot-Savart & Derivação
A lei Biot-Savart pode ser declarada como:
Onde, k é uma constante, dependendo das propriedades magnéticas do meio e do sistema das unidades empregadas. No sistema SI de unidade,
Por isso, a derivação final da lei Biot-Savart é,
Deixe-nos considerar um fio longo com um I de corrente e também considerar um ponto p no espaço. O fio é apresentado na figura abaixo, por cor vermelha. Consideremos também um comprimento infinitamente pequeno do fio dl a uma distância r do ponto P, como mostrado. Aqui, r é um vector de distância que faz um ângulo θ com a direcção da corrente na porção infinitesimal do fio.
Se tentar visualizar a condição, pode facilmente compreender a densidade do campo magnético no ponto P devido a que o comprimento infinitesimal dl do fio é directamente proporcional à corrente transportada por esta porção do fio.
Se a corrente através desse comprimento infinitesimal do fio for a mesma que a corrente transportada por todo o fio, podemos escrever,
É também muito natural pensar que o densidade do campo magnético nesse ponto P devido a esse comprimento infinitesimal dl de fio é inversamente proporcional ao quadrado da distância recta do ponto P até ao centro de dl. Matematicamente, podemos escrever isto como,
Lastly, a densidade do campo magnético nesse ponto P devido a essa porção infinitesimal do fio é também directamente proporcional ao comprimento real do comprimento infinitesimal dl do fio.
As θ seja o ângulo entre o vector de distância r e a direcção da corrente através dessa porção infinitesimal do fio, o componente do dl directamente virado perpendicularmente ao ponto P é dlsinθ,
Now, combinando estas três afirmações, podemos escrever,
Esta é a forma básica da Lei de Biot Savart
Agora, pondo o valor da constante k (que já introduzimos no início deste artigo) na expressão acima, obtemos
Aqui, μ0 utilizado na expressão de k constante é permeabilidade absoluta do ar ou do vácuo e o seu valor é 4π10-7 Wb/ A-m no sistema SI de unidades. μr da expressão de constante k é a permeabilidade relativa do meio.
Agora, a densidade do fluxo(B) no ponto P devido ao comprimento total do condutor ou fio transportador de corrente pode ser representada como,
se D é a distância perpendicular do ponto P do fio, then
Agora, a expressão da densidade do fluxo B no ponto P pode ser reescrita como,
As pela figura acima,
Finalmente, a expressão de B vem como,
Este ângulo θ depende do comprimento do fio e da posição do ponto P. Digamos que para um determinado comprimento limitado do fio, o ângulo θ como indicado na figura acima varia de θ1 a θ2. Assim, a densidade do fluxo magnético no ponto P devido ao comprimento total do condutor é,
Imaginemos que o fio é infinitamente longo, então θ variará de 0 a π ou seja θ1 = 0 a θ2 = π. Colocando estes dois valores na expressão final da Lei Biot Savart acima, obtemos,
Isto não é mais do que a expressão da Lei de Ampere.