A bibliografia matemática de Chicago ajudou-me muito, aqui está por exemplo a secção elementar (para álgebra linear pode encontrá-la na secção intermédia, ver o link)
ELEMENTARIA
Isto inclui “tópicos de liceu” e cálculo do primeiro ano.
Conteúdos
- Álgebra (4)
- Geometria (2)
- Fundamentos (1)
- Resolução de problemas (4)
- Cálculo (6)
- Pontes para tópicos intermédios (2)
Álgebra
Gelfand/Shen, Álgebra
Gelfand/Glagoleva/Shnol, Funções e gráficos
Gelfand/Glagoleva/Kirillov, O método das coordenadas
Estes três pequenos livros brancos provêm da escola de correspondência soviética em matemática, dirigida por I. M. Gelfand para pessoas interessadas de todas as idades, nas regiões mais distantes da URSS. Em vez de tentar ser artificialmente “realista” na forma como os americanos o fazem, Gelfand simplesmente assume que se pode compreender a matemática como ela é feita (e evita as complexidades formais a que os matemáticos estão habituados). YSP e SESAME entregam-nas pela carga de carro aos seus alunos, que na sua maioria os adoram. TMoC é notável pelo seu intrigante esquema de quatro eixos para fazer gráficos planos de R4. Em geral, um olhar fresco e inspirador sobre tópicos que tomamos como garantidos, e uma coisa boa a recomendar a estudantes mais jovens e brilhantes ou a amigos (ou pais!)
Cohen, Precalculus com trigonometria de círculo unitário
Usei este livro no liceu e adorei-o absolutamente. É muito desnatado em provas, e realmente não deve ser usado para esse tipo de percepção. No entanto, em termos de compreensão de como aplicar vários conceitos matemáticos, é maravilhoso. Tem um grande número de gráficos, exemplos, e tabelas de referência fáceis. Abrange toda a álgebra, trigonometria e geometria cartesiana com que qualquer boa sequência matemática do liceu deve lidar. Há anos que o utilizo como livro de referência (por exemplo, o que é exactamente a regra de Cramer novamente…) As soluções para uma série de problemas estão no verso, e os problemas não são inteiramente aplicações.
Geometria
Euclídeo, Os elementos
Não, não estou a brincar. No início é incrivelmente aborrecido e entediante ler, mas depois de algum tempo entra-se no fluxo da linguagem e do estilo. Euclides ensina-nos tanto o poder dos métodos algébricos modernos como as coisas que se escondem pelo nosso instinto de atribuir um número a um comprimento. Além disso, há maravilhosos petiscos aqui e ali (sabia que Euclid inventou o corte Dedekind?). Pelo menos verifique uma vez, para ler a sua prova do teorema de Pitágoras. (Graças a Jonathan Beere (’95) por me ter convencido que valia a pena.)
Tenho o Volume I, e tenho de admitir que não o li realmente. No entanto, penso que beneficiaria se alguém me enfiasse algum dele pela garganta abaixo, porque hoje em dia nós, estudantes universitários, somos treinados para considerar “geométrico” como um forte pejorativo – a própria antítese do rigor e da prova.
Coxeter, Geometria revisitada
Este é um texto sobre “geometria euclidiana avançada”, começando pelos inúmeros “centros” clássicos de um triângulo e procedendo a partir daí. Muitos bons exercícios. Há muitos textos de “geometria universitária” em que se pode encontrar este material, mas a maior parte deles são dirigidos às disciplinas de matemática; este livro e o outro de Coxeter (ver abaixo) têm todos eles batidos.
Eu gosto deste livro. Não é meu, mas já o folheei mais de uma vez e concordo que tem uma qualidade agradavelmente não-morte cerebral. Há factos geométricos interessantes que provavelmente nunca viu antes aqui.
Fundações
Rucker, Infinity and the mind
Este não é realmente um livro de matemática. É uma introdução amigável ao conceito de infinito, números transfinitos, e paradoxos relacionados. Recomendá-lo-ia a estudantes do ensino secundário que estejam interessados em matemática, mas que não estejam prontos para se sentarem e lerem através de provas após provas de teoremas. (De facto, li pela primeira vez no liceu como parte de uma aula de matemática de estudo independente). O livro contém algumas provas, mas não na forma rigorosa de um texto padrão de matemática. Inclui mais antecedentes históricos sobre os conceitos do que a maioria dos textos de matemática, o que é agradável. Cada capítulo é acompanhado de problemas, e uma chave de resposta (com explicações) está no final do livro.
Resolução de problemas (pré-universitário)
Livros de problemas de NML
O MAA publica uma série chamada “New Mathematical Library” que contém muitos títulos excelentes destinados a ou abaixo do segundo nível universitário (a Geometria revisitada está entre eles). Nesta série estão quatro livros de problemas dados sobre a AHSME, um da USAMO e dois da IMO, todos com soluções. Utilizamos extensivamente os livros da AHSME na YSPME; os problemas USAMO e IMO ainda me dão um tempo difícil, e são divertidos se estiver à procura de frustração uma noite.
Larson, Problem solving through problems
Depois de se ocupar com os problemas IMO durante algum tempo, vire-se aqui para encontrar um livro que ensina (tanto quanto qualquer livro pode) a arte de os resolver. As estratégias cognitivas são expostas com exemplos de problemas (principalmente das Olimpíadas e Putnams) aos quais se aplicam.
Sou o dono disto, ou pelo menos já não o via desde a escola secundária. Não sou realmente um grande solucionador de problemas de concursos, mas usei este livro e penso que ajudou a preparar-me para a Matemática de Chicago. Muitos bons problemas, nem todos eles inane.
Pólya, Como resolvê-lo
Não li isto, mas é suposto ser a versão “clássica” de Larson acima.
Pólya, Matemática e raciocínio plausível, I e II
Estas são as “sequelas” de Como resolvê-lo de Pólya. São definitivamente interessantes, embora o seu interesse principal possa ser psicológico/filosófico (só em relação à matemática é que a filosofia e a psicologia se fundem!) Não tenho a certeza de que se possa realmente tornar um solucionador de problemas significativamente melhor ao ler um livro sobre a natureza do raciocínio matemático, mas admiro Pólya por escrever um livro interessante e desafiador sobre a prática da matemática; tais livros são, na minha opinião, muito poucos e distantes.
Em 1997-98 foram publicados alguns livros com o mesmo tema geral que Larson, mas com colecções problemáticas diferentes; não vi nenhum deles.
Calculus
P>Claro, como todos sabemos, o Livro Único e Verdadeiro de Cálculo é
Spivak, Cálculo
Este é um livro que todos devem ler. Se não conhece cálculo e tem tempo, leia-o e faça todos os exercícios. As partes 1 e 2 são onde finalmente aprendi o que era um limite, após três anos de “explicações” de mau-cálculo. Tudo isto é o tratamento mais coerente e explicado do cálculo de uma variável que já vi (podem ver em todo o livro que Spivak tem uma visão do que ele está a tentar ensinar).
O livro tem falhas, claro. Os exercícios ficam um pouco monótonos porque Spivak tem alguns truques que gosta de usar repetidamente, e talvez poucos deles lidem com aplicações (mas pode encontrar esse tipo de exercício em qualquer livro). Além disso, ele por vezes evita a sofisticação à custa da clareza, como nas provas de Três Teoremas Duros no capítulo 8 (onde muito epsilon-pushing substitui as palavras “compacto” e “conectado”). No entanto, este é o melhor livro de cálculo em geral, e já o vi fazer um trabalho maravilhoso de rectificação cerebral em muitas pessoas.
Sim, é bom, embora talvez mais afecto venha de estudantes mais avançados que o folheiam? A maior parte da minha exposição a este livro vem da tutoria e classificação para 161, mas acredito seriamente que trabalhar o maior número possível de problemas (há que reconhecer que muitos deles são difíceis para os estudantes do primeiro ano, e alguns deles são realmente difíceis!) é inestimável para o desenvolvimento da maturidade matemática e da técnica epsilónica, sem a qual nenhuma matéria de matemática deve ser importante.
Outros livros de cálculo dignos de nota, e porquê:
p>Spivak, The hitchhiker’s guide to calculus
Apenas o que o título diz. Não o li, mas muitos estudantes dos anos 130 adoram-no.
Hardy, A course of pure mathematics
Courant, Differential and integral calculus
Estes dois são para “cultura”. São tratamentos clássicos do cálculo, do tempo em que um livro de matemática era rigoroso, ponto final. Hardy concentra-se mais na elegância conceptual e no desenvolvimento (começando pela construção do R). Courant vai mais longe nas aplicações do que é habitual (incluindo tanto na análise de Fourier como sem a integração de Lebesgue). São antigos, e os livros antigos são difíceis de ler, mas normalmente valem a pena. (Lembre-se do que Abel disse sobre a leitura dos mestres e não dos alunos!)
Apostol, Cálculo
Este é “o outro” texto moderno de cálculo rigoroso. Lê como um texto de nível superior: lemma-teorém-corolário à prova de teoremas. Seco mas abrangente (o segundo volume inclui o cálculo multivariável).