Teorema de Pitágoras, o conhecido teorema geométrico de que a soma dos quadrados nas pernas de um triângulo direito é igual ao quadrado na hipotenusa (o lado oposto ao ângulo recto)-ou, em notação algébrica familiar, a2 + b2 = c2. Embora o teorema tenha sido há muito associado com o matemático-filosoforte grego Pitágoras (c. 570-500/490 bce), na realidade é muito mais antigo. Quatro pastilhas babilónicas de cerca de 1900-1600 bce indicam algum conhecimento do teorema, com um cálculo muito preciso da raiz quadrada de 2 (o comprimento da hipotenusa de um triângulo direito com o comprimento de ambas as pernas igual a 1) e listas de inteiros especiais conhecidos como triplos pitagóricos que o satisfazem (por exemplo, 3, 4, e 5; 32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). O teorema é mencionado no Baudhayana Sulba-sutra da Índia, que foi escrito entre 800 e 400 bce. No entanto, o teorema veio a ser creditado a Pitágoras. É também a proposição número 47 do Livro I dos Elementos de Euclides.
De acordo com o historiador sírio Iamblichus (c. 250-330 ce), Pitágoras foi apresentado à matemática por Thales de Miletus e a sua pupila Anaximander. Em qualquer caso, sabe-se que Pitágoras viajou para o Egipto cerca de 535 bce para aprofundar o seu estudo, foi capturado durante uma invasão em 525 bce por Cambyses II da Pérsia e levado para a Babilónia, e pode possivelmente ter visitado a Índia antes de regressar ao Mediterrâneo. Pitágoras logo se estabeleceu em Croton (agora Crotone, Itália) e criou uma escola, ou em termos modernos um mosteiro (ver pitagorismo), onde todos os membros fizeram rigorosos votos de segredo, e todos os novos resultados matemáticos durante vários séculos foram atribuídos ao seu nome. Assim, não só é desconhecida a primeira prova do teorema, como também existe alguma dúvida de que o próprio Pitágoras provou realmente o teorema que leva o seu nome. Alguns estudiosos sugerem que a primeira prova foi a que aparece na figura. Foi provavelmente descoberta independentemente em várias culturas diferentes.
Teorema de PitágorasEncyclopædia Britannica, Inc.
Livro I dos Elementos termina com a famosa prova do teorema “moinho de vento” de Euclides. (Ver Sidebar: Euclid’s Windmill.) Mais tarde no Livro VI dos Elementos, Euclid faz uma demonstração ainda mais fácil utilizando a proposta de que as áreas de triângulos semelhantes são proporcionais aos quadrados dos seus lados correspondentes. Aparentemente, Euclid inventou a prova do moinho de vento para poder colocar o teorema de Pitágoras como a pedra angular do Livro I. Ele ainda não tinha demonstrado (como o faria no Livro V) que os comprimentos das linhas podem ser manipulados em proporções como se fossem números comensuráveis (números inteiros ou rácios de inteiros). O problema que ele enfrentou é explicado na barra lateral: Incomensuráveis.
Foram inventadas muitas provas e extensões diferentes do teorema de Pitágoras. Tomando primeiro as extensões, o próprio Euclides mostrou num teorema elogiado na antiguidade que quaisquer figuras regulares simétricas desenhadas nos lados de um triângulo direito satisfazem a relação pitagórica: a figura desenhada na hipotenusa tem uma área igual à soma das áreas das figuras desenhadas nas pernas. Os semicírculos que definem Hipócrates das lunas de Chios são exemplos de tal extensão. (Ver Sidebar: Quadratura da Luna.)
Nos Nove Capítulos sobre Procedimentos Matemáticos (ou Nove Capítulos), compilados no século I ce na China, são dados vários problemas, juntamente com as suas soluções, que envolvem encontrar o comprimento de um dos lados de um triângulo direito quando dados os outros dois lados. No Comentário de Liu Hui, do século III, Liu Hui ofereceu uma prova do teorema de Pitágoras que apelava a cortar os quadrados nas pernas do triângulo direito e a rearranjá-los (“estilo tangram”) para corresponder ao quadrado na hipotenusa. Embora o seu desenho original não sobreviva, a figura seguinte mostra uma possível reconstrução.
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O teorema de Pitágoras fascina as pessoas há quase 4.000 anos; existem agora mais de 300 provas diferentes, incluindo as do matemático grego Pappus de Alexandria (florescido c. 320 ce), o matemático-físico árabe Thābit ibn Qurrah (c. 836-901), o artista-inventor italiano Leonardo da Vinci (1452-1519), e mesmo o pres. norte-americano James Garfield (1831-81).