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A 𝑛 ⨯ 𝑛 matriz quadrada 𝑸 diz-se que é uma matriz ortogonal se os seus vectores de coluna e linha 𝑛 forem vectores de unidade ortogonais. Mais especificamente, quando os seus vectores de coluna têm o comprimento de um, e são ortogonais em pares; da mesma forma para os vectores de linha.
Isto leva à seguinte caracterização: uma matriz 𝑸 torna-se ortogonal quando a sua transposição é igual à sua matriz inversa.
ul>>>li>Porquê a matriz inversa de 𝑸 é a sua transposição?
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Propriedades de matrizes ortogonais
- 2.1 Qualquer matriz ortogonal é invertível
- 2.2 O produto de matrizes ortogonais é também ortogonal
ul>>>li>2.3 O determinante das matrizes ortogonais
O determinante de uma matriz ortogonal é igual a 1 ou -1. Uma vez que det(A) = det(Aᵀ) e o determinante do produto é o produto de determinantes quando A é uma matriz ortogonal.
- 2.4 Preservação de comprimentos e ângulos
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>>figuração>Figura 4. Prova de que as matrizes ortogonais preservam comprimentos
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Como está provado nas figuras acima, a transformação ortogonal permanece os comprimentos e ângulos inalterados. Além disso, o seu determinante é sempre 1 ou -1, o que implica o factor de escala de volume. Por outras palavras, a transformação ortogonal deixa os ângulos e comprimentos intactos, e não altera o volume do paralelepípedo. A partir destes factos, podemos inferir que a transformação ortogonal significa de facto uma rotação.
Referência
https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix
https://www.quora.com/Why-do-orthogonal-matrices-represent-rotations
https://byjus.com/maths/orthogonal-matrix/
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m251f10/m251s10orthogonal.pdf
https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate-bases/orthonormal-basis/v/lin-alg-orthogonal-matrices-preserve-angles-and-lengths