Bibliografia Chicago maths. naprawdę mi pomogła, oto na przykład część elementarna (dla algebry liniowej możesz znaleźć ją w części pośredniej, zobacz link)
ELEMENTARY
Obejmuje ona „tematy licealne” i rachunek pierwszego roku.
Zawartość
- Algebra (4)
- Geometria (2)
- Podstawy (1)
- Rozwiązywanie problemów (4)
- Calculus (6)
- Mosty do tematów pośrednich (2)
Algebra
Gelfand/Shen, Algebra
Gelfand/Glagoleva/Shnol, Funkcje i wykresy
Gelfand/Glagoleva/Kirillov, Metoda współrzędnych
Te trzy małe białe książeczki pochodzą z radzieckiej szkoły korespondencyjnej w matematyce, prowadzonej przez I. M. Gelfanda dla zainteresowanych osób w każdym wieku w dalszych zakątkach ZSRR. Zamiast starać się być sztucznie „przyziemnym”, jak to robią Amerykanie, Gelfand po prostu zakłada, że można zrozumieć matematykę tak, jak jest zrobiona (i unika formalnych zawiłości, do których matematycy są przyzwyczajeni). YSP i SESAME rozdają je swoim studentom całymi samochodami, którzy w większości je uwielbiają. TMoC jest godny uwagi ze względu na intrygujący czteroosiowy schemat tworzenia płaskich grafów R4. Ogólnie rzecz biorąc, świeże, inspirujące spojrzenie na tematy, które uznajemy za oczywiste, i dobra rzecz do polecenia młodszym studentom lub przyjaciołom (lub rodzicom!)
Cohen, Precalculus with unit circle trigonometry
Korzystałem z tej książki w szkole średniej i absolutnie ją uwielbiałem. Jest bardzo skąpy na dowodach i naprawdę nie powinien być używany do tego rodzaju wglądu. Jednak jeśli chodzi o zrozumienie, jak stosować różne koncepcje matematyczne, jest wspaniała. Ma dużą liczbę wykresów, przykładów i łatwych tabel referencyjnych. Obejmuje wszystkie algebry, trygon, i geometrii kartezjańskiej, że każdy dobry sekwencji matematyki w szkole średniej powinny zajmować się. Używam jej od lat jako książki referencyjnej (np., co to dokładnie jest reguła Cramera…) Rozwiązania wielu problemów znajdują się z tyłu, a problemy nie są w całości aplikacjami.
Geometria
Euklides, Elementy
Nie, nie żartuję. Na początku jest to niewiarygodnie irytujące i żmudne, ale po pewnym czasie wpada się w wir języka i stylu. Euklides uczy cię zarówno potęgi nowoczesnych metod algebraicznych, jak i rzeczy, które ukrywa nasz instynkt przypisywania liczby do długości. Poza tym, tu i ówdzie można znaleźć cudowne ciekawostki (wiedzieliście, że Euklides wymyślił cięcie Dedekinda?). Sprawdźcie to chociaż raz, żeby przeczytać jego dowód twierdzenia pitagorejskiego. (Podziękowania dla Jonathana Beere’a (’95) za przekonanie mnie, że warto.)
Mam Tom I i muszę przyznać, że tak naprawdę go nie przeczytałem. Myślę jednak, że skorzystałbym, gdyby ktoś wepchnął mi to do gardła, ponieważ obecnie my, studenci, jesteśmy szkoleni, by traktować „geometrię” jako mocny pejoratyw – antytezę rygoru i dowodu.
Coxeter, Geometry revisited
Jest to tekst o „zaawansowanej geometrii euklidesowej”, zaczynający się od niezliczonej ilości klasycznych „środków” trójkąta i idący dalej. Wiele dobrych ćwiczeń. Jest wiele tekstów o „geometrii na studiach”, w których można znaleźć te rzeczy, ale większość z nich jest skierowana do studentów matematyki; ta książka i inna Coxetera (patrz poniżej) mają je wszystkie pobite.
Lubię tę książkę. Nie mam jej na własność, ale przeglądałem ją więcej niż raz i zgadzam się, że ma przyjemnie nie-śmiertelną jakość. Są tu interesujące fakty geometryczne, których prawdopodobnie nie widziałeś wcześniej.
Fundamenty
Rucker, Nieskończoność i umysł
To nie jest tak naprawdę książka o matematyce. Jest to przyjazne wprowadzenie do pojęcia nieskończoności, liczb transfinitycznych i związanych z nimi paradoksów. Poleciłbym ją uczniom szkół średnich, którzy są zainteresowani matematyką, ale nie są gotowi usiąść i przeczytać dowód za dowodem twierdzeń. (W rzeczywistości, po raz pierwszy przeczytałem ją w liceum jako część niezależnej klasy matematycznej). Książka zawiera kilka dowodów, ale nie w rygorystycznej formie standardowego tekstu matematycznego. Zawiera więcej tła historycznego na temat pojęć niż większość tekstów matematycznych, co jest miłe. Każdemu rozdziałowi towarzyszą problemy, a klucz odpowiedzi (z objaśnieniami) znajduje się na końcu książki.
Rozwiązywanie problemów (pre-college)
Książki problemowe NML
MAA publikuje serię zwaną „New Mathematical Library”, która zawiera wiele doskonałych tytułów skierowanych na lub poniżej poziomu college’u sophomore (Geometry revisited jest wśród nich). W tej serii są cztery książki z problemami podanymi na AHSME, jedna z problemami USAMO i dwie z problemami IMO, wszystkie z rozwiązaniami. W YSP używamy książek AHSME w szerokim zakresie; problemy USAMO i IMO wciąż dają mi popalić i są zabawne, jeśli szukasz frustracji jednego wieczoru.
Larson, Rozwiązywanie problemów poprzez problemy
Po zmaganiu się z problemami IMO przez jakiś czas, zwróć się tutaj, aby znaleźć książkę, która uczy (tak bardzo jak każda książka może) sztuki ich rozwiązywania. Strategie poznawcze są przedstawione wraz z przykładami problemów (głównie z olimpiad i Putnamów), do których mają zastosowanie.
Posiadam ją, a przynajmniej posiadałem – nie widziałem jej od czasów liceum. Naprawdę nie jestem wielkim rozwiązywaczem problemów konkursowych, ale korzystałem z tej książki i myślę, że pomogła mi ona przygotować się do Chicago Mathematics. Dużo dobrych problemów, nie wszystkie z nich inane.
Pólya, How to solve it
Nie czytałem tego, ale to ma być „klasyczna” wersja Larsona powyżej.
Pólya, Mathematics and plausible reasoning, I and II
To są „sequele” do How to solve it Pólyi. Nie jestem pewien, czy czytając książkę o naturze rozumowania matematycznego można naprawdę stać się znacząco lepszym rozwiązywaczem problemów, ale podziwiam Pólyę za napisanie ciekawej i ambitnej książki o praktyce matematycznej; takich książek jest moim zdaniem zbyt mało i są zbyt rzadkie.
W latach 1997-98 ukazało się kilka książek o tym samym ogólnym temacie co Larson, ale różnych zbiorach problemów; nie widziałem żadnej z nich.
Kalkulus
Oczywiście, jak wszyscy wiemy, jedyną prawdziwą książką o rachunku jest
Spivak, Calculus
To książka, którą każdy powinien przeczytać. Jeśli nie znasz rachunku i masz czas, przeczytaj ją i zrób wszystkie ćwiczenia. Części 1 i 2 są gdzie w końcu dowiedziałem się, co to jest ograniczenie, po trzech latach złych podręcznikowych „wyjaśnień”. Całość jest najbardziej spójnie pomyślanym i wyjaśnionym traktowaniem rachunku jednej zmiennej, jakie widziałem (widać, że Spivak ma wizję tego, czego próbuje nauczyć).
Książka ma oczywiście wady. Ćwiczenia stają się trochę monotonne, ponieważ Spivak ma kilka sztuczek, które lubi powtarzać i być może zbyt mało z nich dotyczy zastosowań (ale tego typu ćwiczenia można znaleźć w każdej książce). Ponadto, czasami unika wyrafinowania kosztem jasności, jak w dowodach Trzech trudnych twierdzeń w rozdziale 8 (gdzie wiele epsilon-pushing zajmuje miejsce słów „zwarty” i „połączony”). Niemniej jednak, jest to najlepsza książka o rachunku ogólnym, i widziałem, że wykonuje wspaniałą pracę rektyfikacji mózgu na wielu ludziach.
Tak, jest dobra, chociaż być może więcej sympatii pochodzi od bardziej zaawansowanych studentów, którzy przerzucają ją z powrotem? Większość mojej ekspozycji na tę książkę pochodzi z korepetycji i oceniania dla 161, ale poważnie wierzę, że praca z tak wieloma problemami, jak to możliwe (trzeba przyznać, że wiele z nich jest trudnych dla studentów pierwszego roku, a kilka z nich jest naprawdę trudnych!) jest nieoceniona dla rozwijania matematycznej dojrzałości i techniki epsilonic, bez których żaden student matematyki nie powinien się obyć.
Inne książki o rachunku warte uwagi i dlaczego:
Spivak, The hitchhiker’s guide to calculus
Jak mówi tytuł. Ja go nie czytałem, ale wielu studentów 130s go uwielbia.
Hardy, A course of pure mathematics
Courant, Differential and integral calculus
Te dwie pozycje są dla „kultury”. Są to klasyczne traktowania rachunku, z powrotem, kiedy książka matematyczna była rygorystyczna, kropka. Hardy skupia się bardziej na elegancji pojęciowej i rozwoju (zaczynając od budowania R). Courant zagłębia się bardziej niż zwykle w zastosowania (włączając w to tyle analizy Fouriera, ile można zrobić bez całkowania Lebesgue’a). Są stare, a stare książki są trudne do przeczytania, ale zwykle warto. (Pamiętaj, co Abel powiedział o czytaniu mistrzów, a nie uczniów!)
Apostol, Calculus
To jest „drugi” współczesny tekst o rygorystycznym rachunku. Czyta się go jak tekst na wyższym poziomie: lemat-twierdzenie-dowód-korelacja. Suchy, ale wyczerpujący (w drugim tomie jest rachunek wielozmienny).