Una matrice 𝑛 ⨯ 𝑛 quadrata 𝑸 si dice essere una matrice ortogonale se i suoi 𝑛 vettori colonna e riga sono vettori unitari ortogonali. Più precisamente, quando i suoi vettori di colonna hanno la lunghezza di uno e sono ortogonali a coppie; lo stesso vale per i vettori di riga.
Questo porta alla seguente caratterizzazione che una matrice 𝑸 diventa ortogonale quando la sua trasposizione è uguale alla sua matrice inversa.
- Perché la matrice inversa di 𝑸 è la sua trasposizione?
Proprietà delle matrici ortogonali
- 2.1 Ogni matrice ortogonale è invertibile
- 2.2 Anche il prodotto di matrici ortogonali è ortogonale
- 2.3 Il determinante delle matrici ortogonali
Il determinante di una matrice ortogonale è uguale a 1 o -1. Poiché det(A) = det(Aᵀ) e il determinante del prodotto è il prodotto dei determinanti quando A è una matrice ortogonale.
- 2.4 Conservazione di lunghezze e angoli
- 2.5 Le matrici ortogonali rappresentano una rotazione
Come è dimostrato nelle figure precedenti, la trasformazione ortogonale mantiene le lunghezze e gli angoli invariati. Inoltre, il suo determinante è sempre 1 o -1 che implica il fattore di scala del volume. In altre parole, la trasformazione ortogonale lascia intatti angoli e lunghezze, e non cambia il volume del parallelepipedo. Da questi fatti, possiamo dedurre che la trasformazione ortogonale significa effettivamente una rotazione.
Riferimento
https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix
https://www.quora.com/Why-do-orthogonal-matrices-represent-rotations
https://byjus.com/maths/orthogonal-matrix/
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m251f10/m251s10orthogonal.pdf
https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate-bases/orthonormal-basis/v/lin-alg-orthogonal-matrices-preserve-angles-and-lengths