Commutatore

Il commutatore di due elementi a e b di un anello (compresa qualsiasi algebra associativa) è definito da

= a b – b a .

È zero se e solo se a e b commutano. In algebra lineare, se due endomorfismi di uno spazio sono rappresentati da matrici pendolari in termini di una base, allora sono così rappresentati in termini di ogni base. Usando il commutatore come parentesi di Lie, ogni algebra associativa può essere trasformata in un’algebra di Lie.

L’anticommutatore di due elementi a e b di un anello o di un’algebra associativa è definito da

{ a , b } = a b + b a. {\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}

A volte + {displaystyle _{+}

è usato per indicare l’anticommutatore, mentre – {\displaystyle _{-}}

viene quindi utilizzato per il commutatore. L’anticommutatore è usato meno spesso, ma può essere usato per definire le algebre di Clifford e le algebre di Jordan, e nella derivazione dell’equazione di Dirac nella fisica delle particelle.

Il commutatore di due operatori che agiscono su uno spazio di Hilbert è un concetto centrale nella meccanica quantistica, poiché quantifica quanto bene le due osservabili descritte da questi operatori possono essere misurate simultaneamente. Il principio di indeterminazione è in definitiva un teorema su tali commutatori, in virtù della relazione Robertson-Schrödinger. Nello spazio delle fasi, i commutatori equivalenti dei prodotti stellari delle funzioni sono chiamati parentesi di Moyal, e sono completamente isomorfi alle strutture dei commutatori nello spazio di Hilbert menzionate.

Identità (teoria degli anelli)Edit

Il commutatore ha le seguenti proprietà:

Identità delle algebre di LieModifica

1. = + {\displaystyle =+}
   
2. = 0 {\displaystyle =0}
   
3. = – {\displaystyle =-}
   
4. ] + ] + ] = 0 {\displaystyle ]+]+]=0}
   

La relazione (3) è chiamata anticommutatività, mentre la (4) è l’identità di Jacobi.

Identità aggiuntiveModifica

Se A è un elemento fisso di un anello R, l’identità (1) può essere interpretata come una regola di Leibniz per la mappa ad A : R → R {\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}

dato da ad A ( B ) = {\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=}

. In altre parole, la mappa adA definisce una derivazione sull’anello R. Le identità (2), (3) rappresentano le regole di Leibniz per più di due fattori, e sono valide per qualsiasi derivazione. Anche le identità (4)-(6) possono essere interpretate come regole di Leibniz. Le identità (7), (8) esprimono la Z-bilinearità.

Alcune delle identità di cui sopra possono essere estese all’anticommutatore usando la notazione con pedice ±. Per esempio:

1. ± = A – + ± B {\displaystyle _{\pm }=A_{-}+_{\pm }B}
   
2. ± = A – D + A C – + – D B + C ± B {\displaystyle _{\pm }=A_{-}D+AC_{-}+_{-}DB+C_{\pm }B}
   
3. ± ] + ± ] + ± ] = 0 {\displaystyle \left_{{pm}}}destra]+\left_{pm}destra]+\left_{pm}destra]=0}
   
4. ± = – C + B ± {\displaystyle _{\pm }=_{-}C+B_{\pm}
   
5. = ± C ∓ B ± {\displaystyle =_{\pm }C\mp B_{\pm }}
   

Identità esponenzialiModifica

Considera un anello o algebra in cui l’esponenziale e A = exp ( A ) = 1 + A + 1 2 ! A 2 + ⋯ {displaystyle e^{A} = exp(A)=1+A+{tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }

può essere significativamente definito, come un’algebra di Banach, un anello di serie formali di potenza, o l’algebra avvolgente universale di un’algebra di Lie.

In un tale anello, il lemma di Hadamard applicato ai commutatori annidati dà: e A B e – A = B + + 1 2 ! ] + 1 3 ! ] ] + ⋯ = e ad A ( B ) . {\displaystyle e^{A}Be^{-A}} ={ B++{frac {1}{2!}}]+{\frac {1}{3!}}]+\cdots \ = e^{operatorname {ad} _{A}}(B).}

Un’espansione simile esprime il commutatore di gruppo delle espressioni e A {displaystyle e^{A}}

(analogo agli elementi di un gruppo di Lie) in termini di una serie di commutatori annidati (parentesi di Lie), e A e B e – A e – B {{displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}