Hermann Weyl aprì un discorso matematico-filosofico tenuto nel 1930 con:
La matematica è la scienza dell’infinito.
SymbolEdit
Il simbolo dell’infinito ∞ {displaystyle \infty }
(talvolta chiamato lemniscate) è un simbolo matematico che rappresenta il concetto di infinito. Il simbolo è codificato in Unicode a U+221E ∞ INFINITY (HTML∞∞) e in LaTeX come\infty.
È stato introdotto nel 1655 da John Wallis, e dalla sua introduzione, è stato usato anche al di fuori della matematica nel misticismo moderno e nella simbologia letteraria.
CalculusEdit
Gottfried Leibniz, uno dei co-inventori del calcolo infinitesimale, speculò ampiamente sui numeri infiniti e sul loro uso in matematica. Per Leibniz, sia gli infinitesimi che le quantità infinite erano entità ideali, non della stessa natura delle quantità apprezzabili, ma che godevano delle stesse proprietà secondo la legge della continuità.
Analisi realeModifica
In analisi reale, il simbolo ∞ {displaystyle \infty }
, chiamato “infinito”, è usato per indicare un limite non limitato. La notazione x → ∞ {displaystyle x\rightarrow \infty }
significa che x {\displaystyle x}
aumenta senza limite, e x → – ∞ {displaystyle x\a -infty }
significa che x {\displaystyle x}
diminuisce senza limiti. Per esempio, se f ( t ) ≥ 0 {\displaystyle f(t)\geq 0}
per ogni t {displaystyle t}
, allora
- ∫ a b f ( t ) d t = ∞ {displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }
significa che f ( t ) {\displaystyle f(t)}
non delimita un’area finita da a {\displaystyle a}
a b . {\displaystyle b.}
- ∫ – ∞ ∞ f ( t ) d t = ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }
significa che l’area sotto f ( t ) {\displaystyle f(t)}
è infinita.
- ∫ – ∞ ∞ f ( t ) d t = a {displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}
significa che l’area totale sotto f ( t ) {displaystyle f(t)}
è finita, ed è uguale ad a . {\displaystyle a.}
L’infinito può anche essere usato per descrivere serie infinite, come segue:
- ∑ i = 0 ∞ f ( i ) = a {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}
significa che la somma delle serie infinite converge a qualche valore reale a .
- ∑ i = 0 ∞ f ( i ) = ∞ {displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=infty }
significa che la somma delle serie infinite diverge correttamente all’infinito, nel senso che le somme parziali aumentano senza limiti.
Oltre a definire un limite, l’infinito può anche essere usato come valore nel sistema esteso dei numeri reali. Punti etichettati + ∞ {\displaystyle +\infty }
e – ∞ {displaystyle -\infty }
possono essere aggiunti allo spazio topologico dei numeri reali, producendo la compattazione a due punti dei numeri reali. Aggiungendo le proprietà algebriche a questo si ottengono i numeri reali estesi. Possiamo anche trattare + ∞ {displaystyle +\infty }
e – ∞ {displaystyle -\infty }
come lo stesso, portando alla compattazione in un punto dei numeri reali, che è la linea reale proiettiva. La geometria proiettiva si riferisce anche a una linea all’infinito nella geometria piana, a un piano all’infinito nello spazio tridimensionale, e a un iperpiano all’infinito per le dimensioni generali, ciascuno composto da punti all’infinito.
Analisi complessaModifica
In analisi complessa il simbolo ∞ {displaystyle \infty }
, chiamato “infinito”, denota un limite infinito senza segno. x → ∞ {displaystyle x\rightarrow \infty }
significa che la grandezza | x | {displaystyle |x|}
di x
cresce oltre qualsiasi valore assegnato. Un punto etichettato ∞ {displaystyle \infty }
può essere aggiunto al piano complesso come uno spazio topologico che dà la compattazione a un punto del piano complesso. Quando questo viene fatto, lo spazio risultante è un manifold complesso unidimensionale, o superficie di Riemann, chiamato piano complesso esteso o sfera di Riemann. Si possono anche definire operazioni aritmetiche simili a quelle date sopra per i numeri reali estesi, anche se non c’è distinzione nei segni (il che porta all’unica eccezione che l’infinito non può essere aggiunto a se stesso). D’altra parte, questo tipo di infinito permette la divisione per zero, cioè z / 0 = ∞ {displaystyle z/0=\infty }
per qualsiasi numero complesso non nullo z {\displaystyle z}
. In questo contesto, è spesso utile considerare le funzioni meromorfe come mappe nella sfera di Riemann che prendono il valore di ∞ {displaystyle \infty }
ai poli. Il dominio di una funzione a valore complesso può essere esteso per includere anche il punto all’infinito. Un esempio importante di tali funzioni è il gruppo delle trasformazioni di Möbius (vedi Trasformazioni di Möbius § Panoramica).
Analisi non standardModifica
La formulazione originale del calcolo infinitesimale di Isaac Newton e Gottfried Leibniz usava quantità infinitesimali. Nel XX secolo, è stato dimostrato che questa trattazione poteva essere messa su un piano di rigore attraverso vari sistemi logici, tra cui l’analisi infinitesimale liscia e l’analisi non standard. In quest’ultima, gli infinitesimi sono invertibili e i loro inversi sono numeri infiniti. Gli infiniti in questo senso fanno parte di un campo iperreale; non c’è equivalenza tra loro come per i transfiniti cantoriani. Per esempio, se H è un numero infinito in questo senso, allora H + H = 2H e H + 1 sono numeri infiniti distinti. Questo approccio al calcolo non standard è completamente sviluppato in Keisler (1986).
Teoria degli insiemiModifica
Una forma diversa di “infinito” sono gli infiniti ordinali e cardinali della teoria degli insiemi – un sistema di numeri transfiniti sviluppato per la prima volta da Georg Cantor. In questo sistema, il primo cardinale transfinito è aleph-null (ℵ0), la cardinalità dell’insieme dei numeri naturali. Questa moderna concezione matematica dell’infinito quantitativo si è sviluppata alla fine del XIX secolo dai lavori di Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind e altri, utilizzando l’idea di collezioni o insiemi.
L’approccio di Dedekind fu essenzialmente quello di adottare l’idea di corrispondenza uno-a-uno come standard per confrontare la dimensione degli insiemi, e di rifiutare l’opinione di Galileo (derivata da Euclide) che il tutto non può essere della stessa dimensione della parte (tuttavia, si veda il paradosso di Galileo dove conclude che gli interi quadrati positivi sono della stessa dimensione degli interi positivi). Un insieme infinito può essere definito semplicemente come uno che ha la stessa dimensione di almeno una delle sue parti proprie; questa nozione di infinito è chiamata infinito di Dedekind. Il diagramma a destra fornisce un esempio: considerando le linee come insiemi infiniti di punti, la metà sinistra della linea blu inferiore può essere mappata in modo uno-a-uno (corrispondenze verdi) alla linea blu superiore, e, a sua volta, all’intera linea blu inferiore (corrispondenze rosse); quindi l’intera linea blu inferiore e la sua metà sinistra hanno la stessa cardinalità, cioè “dimensione”.
Cantor definì due tipi di numeri infiniti: i numeri ordinali e i numeri cardinali. I numeri ordinali caratterizzano gli insiemi ben ordinati, o il conteggio portato avanti fino a qualsiasi punto di arresto, compresi i punti dopo che un numero infinito è già stato contato. La generalizzazione delle sequenze finite e (ordinarie) infinite che sono mappe dai numeri interi positivi porta a mappature dai numeri ordinali a sequenze transfinite. I numeri cardinali definiscono la dimensione degli insiemi, cioè quanti membri contengono, e possono essere standardizzati scegliendo il primo numero ordinale di una certa dimensione per rappresentare il numero cardinale di quella dimensione. Il più piccolo infinito ordinale è quello dei numeri interi positivi, e ogni insieme che ha la cardinalità dei numeri interi è considerevolmente infinito. Se un insieme è troppo grande per essere messo in corrispondenza uno-a-uno con i numeri interi positivi, è detto non numerabile. Il punto di vista di Cantor ha prevalso e la matematica moderna accetta l’infinito reale come parte di una teoria consistente e coerente. Alcuni sistemi di numeri estesi, come i numeri iperreali, incorporano i numeri ordinari (finiti) e numeri infiniti di diverse dimensioni.
Cardinalità del continuoModifica
Uno dei più importanti risultati di Cantor fu che la cardinalità del continuo c {displaystyle \mathbf {c} }
è maggiore di quella dei numeri naturali ℵ 0 {\displaystyle {\aleph _{0}}}
; cioè, ci sono più numeri reali R che numeri naturali N. In particolare, Cantor dimostrò che c = 2 ℵ 0 > ℵ 0 {\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}
(si veda l’argomento diagonale di Cantor o la prima prova di non contendibilità di Cantor).
L’ipotesi del continuo afferma che non esiste un numero cardinale tra la cardinalità dei reali e la cardinalità dei numeri naturali, cioè c = ℵ 1 = ℶ 1 {displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}
(vedi Beth one). Questa ipotesi non può essere dimostrata o confutata nell’ambito della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, ampiamente accettata, anche assumendo l’assioma della scelta.
L’aritmetica cardinale può essere usata per mostrare non solo che il numero di punti in una linea dei numeri reali è uguale al numero di punti in qualsiasi segmento di quella linea, ma anche che questo è uguale al numero di punti su un piano e, in effetti, in qualsiasi spazio a dimensione finita.
Il primo di questi risultati è evidente considerando, per esempio, la funzione tangente, che fornisce una corrispondenza uno-a-uno tra l’intervallo (-π/2, π/2) e R (vedi anche il paradosso di Hilbert del Grand Hotel). Il secondo risultato fu dimostrato da Cantor nel 1878, ma divenne intuitivamente evidente solo nel 1890, quando Giuseppe Peano introdusse le curve di riempimento dello spazio, linee curve che si attorcigliano e girano abbastanza da riempire l’intero quadrato, o cubo, o ipercubo, o spazio a dimensione finita. Queste curve possono essere usate per definire una corrispondenza uno-a-uno tra i punti su un lato di un quadrato e i punti nel quadrato.
GeometriaEdit
Fino alla fine del XIX secolo, l’infinito era raramente discusso in geometria, se non nel contesto di processi che potevano essere continuati senza alcun limite. Per esempio, una linea era ciò che oggi si chiama segmento di linea, con la condizione che si può estendere quanto si vuole; ma estenderla all’infinito era fuori questione. Allo stesso modo, una linea di solito non era considerata composta da un numero infinito di punti, ma era un luogo dove un punto può essere collocato. Anche se ci sono infinite posizioni possibili, solo un numero finito di punti poteva essere collocato su una linea. Una testimonianza di questo è l’espressione “il luogo di un punto che soddisfa qualche proprietà” (singolare), dove i matematici moderni direbbero generalmente “l’insieme dei punti che hanno la proprietà” (plurale).
Una delle rare eccezioni di un concetto matematico che coinvolge l’infinito reale era la geometria proiettiva, dove i punti all’infinito sono aggiunti allo spazio euclideo per modellare l’effetto di prospettiva che mostra linee parallele che si intersecano “all’infinito”. Matematicamente, i punti all’infinito hanno il vantaggio di permettere di non considerare alcuni casi speciali. Per esempio, in un piano proiettivo, due linee distinte si intersecano esattamente in un punto, mentre senza punti all’infinito, non ci sono punti di intersezione per le linee parallele. Quindi, linee parallele e non parallele devono essere studiate separatamente nella geometria classica, mentre non hanno bisogno di essere distinte nella geometria proiettiva.
Prima dell’uso della teoria degli insiemi per la fondazione della matematica, punti e linee erano visti come entità distinte, e un punto poteva essere localizzato su una linea. Con l’uso universale della teoria degli insiemi in matematica, il punto di vista è cambiato drasticamente: una linea è ora considerata come l’insieme dei suoi punti, e si dice che un punto appartiene a una linea invece di essere situato su una linea (tuttavia, quest’ultima frase è ancora usata).
In particolare, nella matematica moderna, le linee sono insiemi infiniti.
Dimensione infinitaModifica
Gli spazi vettoriali che si trovano nella geometria classica hanno sempre una dimensione finita, generalmente due o tre. Tuttavia, questo non è implicito nella definizione astratta di uno spazio vettoriale, e si possono considerare spazi vettoriali di dimensione infinita. Questo è tipicamente il caso dell’analisi funzionale dove gli spazi di funzioni sono generalmente spazi vettoriali di dimensione infinita.
In topologia, alcune costruzioni possono generare spazi topologici di dimensione infinita. In particolare, questo è il caso degli spazi ad anello iterato.
FrattaliModifica
La struttura di un oggetto frattale è ribadita nei suoi ingrandimenti. I frattali possono essere ingranditi indefinitamente senza perdere la loro struttura e diventare “lisci”; hanno perimetri infiniti, e possono avere aree infinite o finite. Una di queste curve frattali con un perimetro infinito e un’area finita è il fiocco di neve di Koch.
Matematica senza infinitoModifica
Leopold Kronecker era scettico sulla nozione di infinito e su come i suoi colleghi matematici la stavano usando negli anni 1870 e 1880. Questo scetticismo è stato sviluppato nella filosofia della matematica chiamata finitismo, una forma estrema di filosofia matematica nelle scuole filosofiche e matematiche generali del costruttivismo e dell’intuizionismo.