La bibliografia di Chicago maths. mi ha aiutato molto, ecco per esempio la sezione elementare (per l’algebra lineare la trovi nella sezione intermedia, vedi il link)
ELEMENTARY
Questa comprende “argomenti di scuola superiore” e calcolo del primo anno.
Contenuti
- Algebra (4)
- Geometria (2)
- Fondamenti (1)
- Risoluzione dei problemi (4)
- Calcolo (6)
- Ponti verso argomenti intermedi (2)
Algebra
Gelfand/Shen, Algebra
Gelfand/Glagoleva/Shnol, Funzioni e grafici
Gelfand/Glagoleva/Kirillov, Il metodo delle coordinate
Questi tre piccoli libri bianchi provengono dalla scuola sovietica di matematica per corrispondenza, diretta da I. M. Gelfand per persone interessate di tutte le età nelle zone più lontane dell’URSS. Piuttosto che cercare di essere artificialmente “con i piedi per terra” come fanno gli americani, Gelfand presuppone semplicemente che si possa capire la matematica come viene fatta (ed evita le complessità formali a cui i matematici sono abituati). YSP e SESAME li distribuiscono a vagonate ai loro studenti, che per lo più li amano. TMoC è notevole per il suo intrigante schema a quattro assi per fare grafici piatti di R4. Nel complesso uno sguardo fresco e stimolante ad argomenti che diamo per scontati, e una buona cosa da raccomandare a studenti più giovani e brillanti o ad amici (o genitori!)
Cohen, Precalculus with unit circle trigonometry
Ho usato questo libro al liceo e l’ho assolutamente amato. È molto scarno sulle prove, e non dovrebbe essere usato per questo tipo di approfondimenti. Tuttavia, in termini di comprensione di come applicare vari concetti matematici è meraviglioso. Ha un gran numero di grafici, esempi e tabelle di facile consultazione. Copre tutta l’algebra, la trigonometria e la geometria cartesiana che ogni buona sequenza di matematica del liceo dovrebbe affrontare. L’ho usato per anni come libro di riferimento (per esempio, cos’è esattamente la regola di Cramer…) Le soluzioni a un certo numero di problemi sono nel retro, e i problemi non sono interamente applicativi.
Geometria
Euclide, Gli elementi
No, non sto scherzando. All’inizio è incredibilmente fastidioso e noioso da leggere, ma dopo un po’ si entra nel flusso del linguaggio e dello stile. Euclide ti insegna sia la potenza dei moderni metodi algebrici che le cose che sono nascoste dal nostro istinto di assegnare un numero ad una lunghezza. Inoltre, ci sono chicche meravigliose qua e là (sapevate che Euclide ha inventato il taglio di Dedekind?). Controllate almeno una volta, per leggere la sua dimostrazione del teorema di Pitagora. (Grazie a Jonathan Beere (’95) per avermi convinto che valeva la pena.)
Ho il Volume I, e devo ammettere che non l’ho proprio letto. Penso però che mi gioverebbe se qualcuno me ne ficcasse un po’ in gola, perché oggi noi laureandi siamo abituati a considerare “geometrico” come un forte peggiorativo – l’antitesi stessa del rigore e della dimostrazione.
Coxeter, Geometry revisited
Questo è un testo di “geometria euclidea avanzata”, che inizia con gli innumerevoli “centri” classici di un triangolo e procede da lì. Molti buoni esercizi. Ci sono molti testi di “geometria universitaria” in cui si può trovare questa roba, ma la maggior parte di essi sono rivolti a studenti di matematica; questo libro e l’altro di Coxeter (vedi sotto) li battono tutti.
Mi piace questo libro. Non lo possiedo, ma l’ho sfogliato più di una volta e sono d’accordo che ha una qualità piacevolmente non cerebrale. Ci sono interessanti fatti geometrici che probabilmente non avete visto prima.
Fondamenti
Rucker, L’infinito e la mente
Questo non è veramente un libro di matematica. È un’introduzione amichevole al concetto di infinito, ai numeri transfiniti e ai relativi paradossi. Lo consiglio agli studenti delle scuole superiori che sono interessati alla matematica, ma non sono ancora pronti a sedersi e leggere prove su prove di teoremi. (In effetti, l’ho letto per la prima volta al liceo come parte di un corso di matematica di studio indipendente). Il libro contiene alcune prove, ma non nella forma rigorosa di un testo di matematica standard. Include più background storico sui concetti rispetto alla maggior parte dei testi di matematica, il che è bello. Ogni capitolo è accompagnato da problemi, e una chiave di risposta (con spiegazioni) è alla fine del libro.
Soluzione di problemi (pre-college)
Libri di problemi NML
La MAA pubblica una serie chiamata “New Mathematical Library” che contiene molti titoli eccellenti rivolti a o sotto il livello del secondo anno di college (Geometry revisited è tra questi). In questa serie ci sono quattro libri di problemi dati sull’AHSME, uno di problemi USAMO e due di problemi IMO, tutti con soluzioni. Usiamo ampiamente i libri AHSME a YSP; i problemi USAMO e IMO mi danno ancora del filo da torcere, e sono divertenti se cercate la frustrazione di una sera.
Larson, Problem solving through problems
Dopo aver affrontato i problemi IMO per un po’, girate qui per trovare un libro che insegna (per quanto qualsiasi libro possa) l’arte di risolverli. Le strategie cognitive sono esposte con esempi di problemi (per lo più da Olimpiadi e Putnams) a cui si applicano.
Possiedo questo, o almeno l’ho fatto – non lo vedo dai tempi del liceo. Non sono davvero un grande risolutore di problemi da concorso, ma ho usato questo libro e penso che mi abbia aiutato a prepararmi per Chicago Mathematics. Un sacco di buoni problemi, non tutti inani.
Pólya, How to solve it
Non l’ho letto, ma si suppone che sia la versione “classica” di Larson di cui sopra.
Pólya, Mathematics and plausible reasoning, I and II
Questi sono i “sequel” di How to solve it di Pólya. Sono decisamente interessanti, anche se il loro interesse principale può essere psicologico/filosofico (solo relativamente alla matematica la filosofia e la psicologia si fondono!) Non sono sicuro che si possa davvero diventare un risolutore di problemi significativamente migliore leggendo un libro sulla natura del ragionamento matematico, ma ammiro Pólya per aver scritto un libro interessante e stimolante sulla pratica della matematica; tali libri sono a mio parere troppo pochi e lontani tra loro.
Nel 1997-98 sono stati pubblicati alcuni libri con lo stesso tema generale di Larson, ma diverse raccolte di problemi; non ne ho visto nessuno.
Calculus
Naturalmente, come tutti sappiamo, l’unico vero libro di calcolo è
Spivak, Calculus
Questo è un libro che tutti dovrebbero leggere. Se non conosci il calcolo e hai il tempo, leggilo e fai tutti gli esercizi. Le parti 1 e 2 sono quelle in cui ho finalmente imparato cosa fosse un limite, dopo tre anni di “spiegazioni” da libri di calcolo scadenti. Il tutto è il trattamento più coerentemente concepito e spiegato del calcolo a una variabile che abbia mai visto (si può vedere che Spivak ha una visione di ciò che sta cercando di insegnare).
Il libro ha dei difetti, naturalmente. Gli esercizi diventano un po’ monotoni perché Spivak ha alcuni trucchi che gli piace usare ripetutamente, e forse troppo pochi di essi riguardano le applicazioni (ma si può trovare quel tipo di esercizi in qualsiasi libro). Inoltre, a volte evita la sofisticazione a spese della chiarezza, come nelle prove di Tre teoremi difficili nel capitolo 8 (dove un sacco di epsilon-pushing prende il posto delle parole “compatto” e “collegato”). Ciononostante, questo è il miglior libro di calcolo in assoluto, e l’ho visto fare un meraviglioso lavoro di rettifica cerebrale su molte persone.
Sì, è buono, anche se forse la maggior parte dell’affetto proviene da studenti più avanzati che lo sfogliano di nuovo? La maggior parte della mia esposizione a questo libro proviene dal tutoraggio e dalla classificazione per il 161, ma credo seriamente che lavorare su quanti più problemi possibili (bisogna riconoscere che molti di essi sono difficili per gli studenti del primo anno, e alcuni di essi sono davvero difficili!) è inestimabile per sviluppare la maturità matematica e la tecnica epsilonica di cui nessun maturando dovrebbe essere sprovvisto.
Altri libri di calcolo degni di nota, e perché:
Spivak, The hitchhiker’s guide to calculus
Proprio come dice il titolo. Non l’ho letto, ma molti studenti del 130 lo adorano.
Hardy, Un corso di matematica pura
Courant, Calcolo differenziale e integrale
Questi due sono per “cultura”. Sono trattamenti classici del calcolo, da quando un libro di matematica era rigoroso, punto. Hardy si concentra di più sull’eleganza concettuale e sullo sviluppo (iniziando con la costruzione di R). Courant va più in profondità nelle applicazioni di quanto sia usuale (includendo quanto di più sull’analisi di Fourier si può fare senza l’integrazione di Lebesgue). Sono vecchi, e i vecchi libri sono difficili da leggere, ma di solito ne vale la pena. (Ricordate cosa diceva Abel sul leggere i maestri e non gli allievi!)
Apostol, Calculus
Questo è “l’altro” testo moderno di calcolo rigoroso. Si legge come un testo di livello superiore: lemma-teorema-prova-corollario. Secco ma completo (il secondo volume include il calcolo multivariabile).