Commutateur

Le commutateur de deux éléments a et b d’un anneau (y compris toute algèbre associative) est défini par

= a b – b a . {\displaystyle =ab-ba.}.

Il est nul si et seulement si a et b commutent. En algèbre linéaire, si deux endomorphismes d’un espace sont représentés par des matrices commutatives en termes d’une base, alors ils sont ainsi représentés en termes de chaque base. En utilisant le commutateur comme parenthèse de Lie, toute algèbre associative peut être transformée en une algèbre de Lie.

L’anticommutateur de deux éléments a et b d’un anneau ou d’une algèbre associative est défini par

{ a , b }. = a b + b a . {\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}

Parfois + {\displaystyle _{+}}

est utilisé pour désigner l’anticommutateur, tandis que – {\displaystyle _{-}}.

est alors utilisé pour le commutateur. L’anticommutateur est moins souvent utilisé, mais peut servir à définir les algèbres de Clifford et les algèbres de Jordan, ainsi que dans la dérivation de l’équation de Dirac en physique des particules.

Le commutateur de deux opérateurs agissant sur un espace de Hilbert est un concept central en mécanique quantique, car il quantifie dans quelle mesure les deux observables décrites par ces opérateurs peuvent être mesurées simultanément. Le principe d’incertitude est finalement un théorème sur ces commutateurs, en vertu de la relation de Robertson-Schrödinger. Dans l’espace des phases, les commutateurs équivalents des produits en étoile de fonctions sont appelés parenthèses de Moyal, et sont complètement isomorphes aux structures de commutateurs de l’espace de Hilbert mentionnées.

Identités (théorie des anneaux)

Le commutateur a les propriétés suivantes :

Identités d’algèbre de LieEdit

1. = + {\displaystyle =+}
   
2. = 0 {\displaystyle =0}.
   
3. = – {\displaystyle =-}
   
4. ] + ] + ] = 0 {\displaystyle ]+]+]=0}
   

La relation (3) est appelée anticommutativité, tandis que (4) est l’identité de Jacobi.

Identités supplémentairesModification

Si A est un élément fixe d’un anneau R, l’identité (1) peut être interprétée comme une règle de Leibniz pour la carte ad A : R → R {\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}

donné par ad A ( B ) = {\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=}

. En d’autres termes, la carte adA définit une dérivation sur l’anneau R. Les identités (2), (3) représentent les règles de Leibniz pour plus de deux facteurs, et sont valables pour toute dérivation. Les identités (4)-(6) peuvent également être interprétées comme des règles de Leibniz. Les identités (7), (8) expriment la Z-bilinéarité.

Certaines des identités ci-dessus peuvent être étendues à l’anticommutateur en utilisant la notation de l’indice ± ci-dessus.Par exemple:

1. ± = A – + ± B {\displaystyle _{\pm }=A_{-}+_{\pm }B}
   

± = A – D + A C – + – D B + C ± B {\displaystyle _{\pm }=A_{-}D+AC_{-}+_{-}DB+C_{\pm }B}



± ] + ± ] + ± ] = 0 {\displaystyle \\N{\i1}Gauche{\i}{\i}}}} +\N{\i}}Gauche{\i}}}}}}}}}}}\N{\i}}}}} =0}


2. ± = – C + B ± {\displaystyle _{\pm }=_{-}C+B_{\pm }}
   
3. = ± C ∓ B ± {\displaystyle =_{\pm }C\mp B_{\pm }}
   

Identités exponentiellesModification

Considérons un anneau ou une algèbre dans lequel l’exponentielle e A = exp ( A ) = 1 + A + 1 2 ! A 2 + ⋯ {\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+{\cdots }

peut être défini de manière significative, comme une algèbre de Banach, un anneau de séries de puissances formelles, ou l’algèbre enveloppante universelle d’une algèbre de Lie.

Dans un tel anneau, le lemme de Hadamard appliqué aux commutateurs imbriqués donne : e A B e – A = B + + 1 2 ! ] + 1 3 ! ] ] + ⋯ = e ad A ( B ) . {\displaystyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B++{\frac {1}{2!}}]+{\frac {1}{3!}}]+\cdots \ =\ e^{{\operatorname {ad}} _{A}}(B).}

Une expansion similaire exprime le commutateur de groupe des expressions e A {\displaystyle e^{A}}.

(analogues aux éléments d’un groupe de Lie) en termes d’une série de commutateurs emboîtés (crochets de Lie), e A e B e – A e – B {\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}}.