Fréquence de coupure : Qu'est-ce que c'est ? Équation et comment la trouver

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Qu’est-ce que la fréquence de coupure ?

La fréquence de coupure (également appelée fréquence de coin ou fréquence de rupture) est définie comme une limite dans la réponse en fréquence d’un système à laquelle l’énergie circulant dans le système commence à être atténuée (réfléchie ou réduite) plutôt que de passer.

La fréquence de coupure ou fréquence d’angle en électronique est la fréquence soit au-dessus, soit au-dessous de laquelle la puissance de sortie d’un circuit, tel qu’une ligne, un amplificateur ou un filtre électronique (par exemple un filtre passe-haut) est tombée à une proportion donnée de la puissance dans la bande passante.

Le plus souvent, cette proportion est la moitié de la puissance de la bande passante, également appelée point 3 dB puisqu’une chute de 3 dB correspond approximativement à la moitié de la puissance. En rapport de tension, cela correspond à une chute à environ 0,707.

Pour tout circuit de filtrage tel que les circuits RC, la fréquence de coupure est une caractéristique très importante. A ce point, la quantité d’atténuation due au filtre commence à augmenter rapidement.

Pour indiquer combien de temps le gain de l’amplificateur peut rester constant par rapport à la fréquence, nous devons définir une plage de fréquences. Parallèlement à cette plage, le gain ne doit pas s’écarter de plus de 70,7 % du gain maximal qui a été défini comme référence à mi-fréquence. Dans la courbe présentée ci-dessous, f1 et f2 indiquent les fréquences de coupure inférieure et de coupure supérieure.

La bande passante

Dans le traitement du signal, la bande passante est définie comme la différence entre la fréquence de coupure supérieure et la fréquence de coupure inférieure. La fréquence f2 se situe le long d’une plage de haute fréquence et f1 dans la plage de basse fréquence. Nous pouvons également nommer ces deux fréquences comme des fréquences Half – Power puisque le gain de tension chute à 70,7 % de la valeur maximale.

Cela représente le niveau de puissance d’une – moitié de la puissance à la fréquence de référence dans la fréquence moyenne. Comme le changement n’est pas perceptible, l’amplificateur audio a une réponse plate de f1 à f2.

La largeur de bande de la fréquence de coupure

Équation de la fréquence de coupure

La formule de la fréquence de coupure. (fréquence de coin) est

$\begin{align*}f_{c}=\frac{1}{2\pi RC}\end{align*}$

où R et C sont les valeurs de la résistance et de la capacité. Pour un simple filtre passe-bas RC, la coupure (point 3dB) est définie comme lorsque la résistance est de la même grandeur que la réactance capacitive

Unité décibel

Le gain est généralement exprimé en décibels. L’unité décibel découle de la réponse logarithmique de l’oreille humaine à l’intensité du son. Par conséquent, le décibel est donné comme une mesure logarithmique du rapport d’une puissance à une autre, il peut également être exprimé comme un rapport d’une tension à une autre.

Généralement, la sortie de tension ou le gain de tension d’un amplificateur est exprimé en décibels (dB) qui est donné par Le gain de tension en dB est .

Le gain de puissance de l’amplificateur est exprimé en décibels (dB) qui est donné par Le gain de puissance en dB est

Lorsque Av est supérieur à un, on dit que le gain en dB est positif. Il représente l’amplification. Lorsque Av est inférieur à un, on dit que le dB est négatif. Il représente l’atténuation.

Dans les amplificateurs, dans quelques circonstances, la valeur du gain peut être attribuée avec une référence de 0 dB. Dans cette situation, cela signifie que le gain de référence est utilisé comme référence qui sert à comparer d’autres valeurs de gain.

Les amplificateurs présentent un gain maximal dans la gamme des moyennes fréquences et un gain réduit dans la gamme des basses fréquences. Le gain maximal est appelé la gamme de fréquences moyennes avec une valeur de 0 dB. Lorsque la valeur du gain est inférieure à la plage de moyenne fréquence, elle est exprimée sous la forme d’une valeur dB négative.

Comment trouver la fréquence de coupure

Il existe plusieurs méthodes permettant de calculer la fréquence de coupure.

Fréquence de coupure à partir de la fonction de transfert

L’analyse d’un circuit avec une fréquence d’altération de sources sinusoïdales est appelée réponse en fréquence d’un circuit. La fonction de transfert d’un circuit est définie comme le rapport entre la tension de sortie et la tension d’entrée dans le domaine s.

$\begin{equation*} H(s)=\frac{V_{0}(s)}{V_{i}(s)} \end{equation*}$

Lorsqu’on utilise une source sinusoïdale, la fonction de transfert sera donnée par l’amplitude et la phase de la tension de sortie par rapport à l’amplitude et la phase de la tension d’entrée dans un circuit. Dans ce cas, $j\omega$ sera utilisé à la place de s.

$\begin{align*} H(s)=\frac{V_{0}(j\omega)}{V_{i}(j\omega)} \end{align*}$

Par exemple, considérez la fonction de transfert

$\begin{align*}. H(s)=\frac{20(s+10)}{s+100)} \end{align*}$

Pour obtenir la fréquence de coin à partir de l’équation ci-dessus, H(s) peut être remplacé comme

$\begin{align*} H(s)=\frac{2(1+s/10))}{1+(s/100))} \end{align*}$

$\begin{align*} 2(1+(s/10)) \frac{1}{(1+(s/100))}\equiv H_{1}(s)H_{2}(s) \end{align*}$

Donc, à partir de cette équation, la fréquence de coin est calculée comme $\omega_{01}(s)=10 rad/s$ et $\omega_{02}(s)=100 rad/s$ . Pour choisir la gamme de fréquences, nous devons considérer les valeurs de la fréquence de coin.

Fréquence de coupure à partir du tracé de Bode

Un graphique qui est couramment utilisé en ingénierie des systèmes de contrôle pour déterminer la stabilité d’un système de contrôle est connu sous le nom de tracé de Bode. Le tracé de Bode décrit la réponse en fréquence du système par deux graphiques – le tracé de magnitude de Bode (indique la magnitude en décibels) et le tracé de phase de Bode (indique le déphasage en degrés).

Dans le graphe de Bode, la fréquence de coin est définie comme la fréquence à laquelle les deux asymptotes se rencontrent ou se coupent.

La fonction de transfert $H(s)=\frac{V_{0}(s)}{V_{i}(s)}$ d’un système porte de nombreuses informations sur le gain et la stabilité du système. Les diagrammes de Bode donnent une image estimée d’un
donné à partir duquel on peut
atteindre une idée juste du gain du système et de ses propriétés de stabilité.

Plot de Bode — Exemple pour un plot de Bode

Fréquence de coupure d’un filtre passe-bas

Un filtre passe-baspasse-bas est un circuit qui autorise les signaux à basse fréquence et arrête les signaux à haute fréquence. Tous les filtres passe-bas ont une certaine fréquence de coupure, au-delà de laquelle la tension de sortie chute en dessous de 70,7 % de sa tension d’entrée. La fréquence à laquelle la réponse en amplitude est inférieure de 3 dB à la valeur à 0 Hz, est appelée fréquence de coupure d’un filtre passe-bas.

Par exemple, si un filtre capacitif passe-bas a $R=500\Omega$ et $C=7\mu F$ , à quelle fréquence la sortie sera-t-elle de 70.7%?

Un simple filtre passe-bas capacitif avec une résistance et un condensateur a une fréquence de coupure de $f_{c}=\frac{1}{2\pi RC}$ . En substituant les valeurs R et C correspondantes, la fréquence de coupure serait de 45,473 Hz. Ainsi, la sortie sera de 70,7 % à 45,473 Hz.

Lorsque le tracé de Bode est réalisé pour un filtre passe-bas comme le montre l’image ci-dessous, la réponse en fréquence du filtre semble être presque plate pour les basses fréquences.

Jusqu’au point de fréquence de coupure, tous les signaux d’entrée passent directement à la sortie, ce qui entraîne un gain unitaire. Cela se produit lorsque la réactance du condensateur est importante aux basses fréquences et empêche toute circulation de courant à travers le condensateur. La réponse du circuit diminue jusqu’à zéro avec une pente de -20dB/ Décade « roll-off » après ce point de fréquence de coupure.

Le point de fréquence auquel la réactance capacitive et la résistance sont égales est connu comme la fréquence de coupure d’un filtre passe-bas. A la fréquence de coupure, le signal de sortie est atténué à 70,7% de la valeur du signal d’entrée ou à -3dB de l’entrée.

Considérons un filtre passe-bas du premier ordre avec une fonction trasnfer

$\begin{align*}. T(s)=\frac{a_{0}}{s+\omega _{0}} \end{align*}$

Rephrasez l’équation ci-dessus en divisant le numérateur et le dénominateur par RC

$\begin{align*}T(s)=\frac{1}{1+sRC}\end{align*}$

$\begin{align*}T(s)=\frac{1/RC}{s+1/RC}\end{align*}$

Hence, $a_{0}=1/RC$ et $\omega_{0}=1/RC$ , où $\omega_{0}$ est la fréquence de coupure.

Pour mieux comprendre la fréquence de coupure, convertissez la fonction de transfert du domaine s standard en format équivalent $j\omega$ .

$\begin{align*}T(s)=\frac{K}{1+s/\omega _{0}}\end{align*}$

$T(s)=\frac{K}{1+s/\omega _{0}\end{align*}$

$\begin{align*}T(j\omega)=\frac{K}{1+\j{\frac{\omega}{\omega_{0}}}}\end{align*}$

Now, évaluons cette expression à la fréquence de coupure

$\begin{align*}T(j\omega=j\omega_{0})=\frac{K}{1+\j{\frac{\omega}{\omega_{0}}}}=\frac{K}{1+j}\end{align*}$

Denomiantor being a complex number, sa magnitude doit être calculée.

$\begin{align*} \left |T(j\omega=j\omega_{0}) \right |=\frac{K}{\sqrt{1^{2}}+1^{2}}=\frac{K}{\sqrt{2}}\end{align*}$

K est le gain en courant continu. Lorsque la fréquence d’entrée augmente jusqu’à la fréquence de coupure, l’amplitude de sortie sera $\frac{K}{\sqrt{2}}$ . La valeur $\frac{1}{\sqrt{2}}$ correspond à -3dB qui n’est rien d’autre que la fréquence de coupure.

Cette analyse de la fonction de transfert a montré clairement que la fréquence de coupure est juste la fréquence à laquelle la réponse en amplitude du filtre est diminuée de 3 dB correspondant à la réponse en amplitude à très basse fréquence.

Fréquence de coupure d’un filtre passe-haut

Un filtre passe-haut laisse passer les signaux dont la fréquence est supérieure à une fréquence de coupure spécifiée. Il atténue les signaux dont la fréquence est inférieure à cette fréquence de coupure.

La fonction de transfert est dérivée dans les équations ci-dessous.

$\begin{align*} Z_{R}=R \ ; \ ; et\ ; \ ; Z_{C}=\frac{1}{sC} \end{align*}$

L’impédance de sortie est donnée par

$\begin{align*}Z_{out}=Z_{R}\end{align*}$

L’impédance d’entrée est donnée par

$\begin{align*}Z_{in}=Z_{R}+Z_{C}\end{align*}$

La fonction de transfert d’un filtre passe-haut est définie comme le rapport entre la tension de sortie et la tension d’entrée.

$\begin{align*}\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{Z_{out}}{Z_{in}}\end{align*}$

$\begin{align*} =\frac{Z_{R}{Z_{R}+Z_{C}}\end{align*}$

$\begin{align*}=\frac{R}{R+\frac{1}{sC}}\end{align*}$

$\begin{align*}=\frac{sCR}{sCR+1}T(S)\end{align*}$

$\begin{align*}=\frac{s}{s+\frac{1}{RC}}\end{align*}$

En comparant l’équation ci-dessus, avec la forme standard de la fonction de transfert,

$\begin{align*}T(s)=\frac{a_{1}s}{s+\omega _{0}}\end{align*}$

$a_{1}$ est l’amplitude du signal

$\omega _{0}$ est la fréquence de coupure angulaire

La fréquence de coupure est connue comme une fréquence créant une frontière entre la bande passante et la bande d’arrêt. Si la fréquence du signal est supérieure à la fréquence de coupure d’un filtre passe-haut, alors elle provoquera le passage du signal. L’équation de la fréquence de coupure pour un filtre passe-haut de premier ordre est la même que pour un filtre passe-bas.

$\begin{align*}f_{c}=\frac{1}{2\pi RC}\end{align*}$

Fréquence de coupure d’un filtre passe-bande

Le filtre passe-bande est constitué de deux fréquences de coupure. Le filtre passe-bande est constitué d’un filtre passe-haut et d’un filtre passe-bas. La première fréquence de coupure provient d’un filtre passe-haut, appelée fréquence de coupure supérieure. Cette fréquence de coupure est connue sous le nom de fc high.

$\begin{align*}FC_{high}=\frac{1}{2\pi R_{1}C_{1}}\end{align*}$

La deuxième fréquence de coupure provient du filtre passe-bas appelé fréquence de coupure inférieure. Cette fréquence de coupure est connue sous le nom de fc low.

$\begin{align*}FC_{low}=\frac{1}{2\pi R_{2}C_{2}}\end{align*}$

La bande passante est donnée comme la plage entre ces fréquences. Pour un filtre passe-haut, la fréquence de coupure définira la valeur inférieure de la bande passante. Pour un filtre passe-bas, la fréquence de coupure définira la valeur supérieure de la largeur de bande.

Fréquence de coupure du circuit RL

Considérons un circuit RL simple comme indiqué ci-dessous.

La fonction de transfert de ce dernier est donnée comme suit . même est donnée par

$\begin{align*}\frac{V_{0}(s)}{V_{i}(s)}=\frac{R}{sL+R}\end{align*}$

$\begin{align*}H(s)=\frac{\frac{R}{L}}{S+\frac{R}{L}}\end{align*}$

Substituer $s=j\omega$ dans l’équation ci-dessus pour calculer la réponse en fréquence

$\begin{align*}H(j\omega)=\frac{\frac{R}{L}{j\omega+\frac{R}{L}\end{align*}$

Réponse en amplitude est

$\begin{align*}\left |H(j\omega) \right |=\frac{\frac{R}{L}}{\sqrt{\omega^{2}+\left ( \frac{R}{L}\right)^{2}}}\end{align*}$ Bégin{align*}\left |H(j\omega) \right |=\frac{\frac{R}{L}}{\sqrt{\omega^{2}+\left ( \frac{R}{L}\right)^{2}}\end{align*}