Infini

Hermann Weyl ouvre un discours mathématico-philosophique prononcé en 1930 par :

Les mathématiques sont la science de l’infini.

Édition du symbole

Le symbole de l’infini ∞ {\displaystyle \infty }.

(parfois appelé lemniscate) est un symbole mathématique représentant le concept d’infini. Le symbole est codé en Unicode à U+221E ∞ INFINITY (HTML ∞∞) et en LaTeX sous la forme \infty.

Il a été introduit en 1655 par John Wallis, et depuis son introduction, il a également été utilisé en dehors des mathématiques dans le mysticisme moderne et la symbologie littéraire.

CalculEdit

Gottfried Leibniz, l’un des co-inventeurs du calcul infinitésimal, a largement spéculé sur les nombres infinis et leur utilisation en mathématiques. Pour Leibniz, les infinitésimaux comme les quantités infinies étaient des entités idéales, qui n’étaient pas de même nature que les quantités appréciables, mais qui jouissaient des mêmes propriétés conformément à la loi de continuité.

Analyse réelleEdit

En analyse réelle, le symbole ∞ {\displaystyle \infty }.

, appelé « infini », est utilisé pour désigner une limite non bornée. La notation x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty }

signifie que x {\displaystyle x}

augmente sans limite, et x → – ∞ {\displaystyle x\to -\infty }

signifie que x {\displaystyle x}

diminue sans limite. Par exemple, si f ( t ) ≥ 0 {\displaystyle f(t)\geq 0}

pour tout t {\displaystyle t}.

, alors

• ∫ a b f ( t ) d t = ∞ {\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }
  

  signifie que f ( t ) {\displaystyle f(t)}

  

  ne lie pas une zone finie de a {\displaystyle a}

  

  à b . {\displaystyle b.}

  
• ∫ – ∞ ∞ f ( t ) d t = ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }
  signifie que l’aire sous f ( t ) {\displaystyle f(t)}

  

  est infinie.

• ∫ – ∞ ∞ f ( t ) d t = a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}
  

  signifie que l’aire totale sous f ( t ) {\displaystyle f(t)}

  

  est finie, et est égale à a . {\displaystyle a.}

  

L’infini peut également être utilisé pour décrire des séries infinies, comme suit:

• ∑ i = 0 ∞ f ( i ) = a {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}
  

  signifie que la somme des séries infinies converge vers une certaine valeur réelle a . {\displaystyle a.}

  
• ∑ i = 0 ∞ f ( i ) = ∞ {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }
  

  signifie que la somme de la série infinie diverge proprement à l’infini, au sens où les sommes partielles augmentent sans limite.

En plus de définir une limite, l’infini peut aussi être utilisé comme une valeur dans le système des nombres réels étendus. Points étiquetés + ∞ {\displaystyle +\infty }



et – ∞ {\displaystyle -\infty }.



peuvent être ajoutés à l’espace topologique des nombres réels, produisant la compactification en deux points des nombres réels. En y ajoutant des propriétés algébriques, on obtient les nombres réels étendus. Nous pouvons également traiter + ∞ {\displaystyle +\infty }



et – ∞ {\displaystyle -\infty }



comme identiques, ce qui conduit à la compactification en un point des nombres réels, qui est la ligne projective réelle. La géométrie projective désigne également une ligne à l’infini en géométrie plane, un plan à l’infini dans l’espace tridimensionnel, et un hyperplan à l’infini pour les dimensions générales, chacun étant constitué de points à l’infini.

Analyse complexeModification



Par projection stéréographique, le plan complexe peut être « enveloppé » sur une sphère, le point supérieur de la sphère correspondant à l’infini. On appelle cela la sphère de Riemann.

En analyse complexe, le symbole ∞ {\displaystyle \infty }.



, appelé « infini », désigne une limite infinie non signée. x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty }



signifie que la grandeur | x | {\displaystyle |x|}



de x {\displaystyle x}



croît au-delà de toute valeur attribuée. Un point étiqueté ∞ {\displaystyle \infty }



peut être ajouté au plan complexe comme un espace topologique donnant la compactification en un point du plan complexe. Lorsque cela est fait, l’espace résultant est un collecteur complexe unidimensionnel, ou une surface de Riemann, appelé le plan complexe étendu ou la sphère de Riemann. Des opérations arithmétiques similaires à celles données ci-dessus pour les nombres réels étendus peuvent également être définies, bien qu’il n’y ait pas de distinction dans les signes (ce qui conduit à la seule exception que l’infini ne peut pas être ajouté à lui-même). D’autre part, ce type d’infini permet la division par zéro, à savoir z / 0 = ∞ {\displaystyle z/0=\infty }.



pour tout nombre complexe non nul z {\displaystyle z}.



. Dans ce contexte, il est souvent utile de considérer les fonctions méromorphes comme des cartes dans la sphère de Riemann prenant la valeur de ∞ {\displaystyle \infty }.



aux pôles. Le domaine d’une fonction à valeurs complexes peut être étendu pour inclure également le point à l’infini. Un exemple important de telles fonctions est le groupe des transformations de Möbius (voir transformation de Möbius § Aperçu).

Analyse non standardEdit



Infinitésimales (ε) et infinités (ω) sur la ligne des nombres hyperréels. ligne de nombres (1/ε = ω/1)

La formulation originale du calcul infinitésimal par Isaac Newton et Gottfried Leibniz utilisait des quantités infinitésimales. Au XXe siècle, il a été démontré que ce traitement pouvait être mis sur un pied rigoureux grâce à divers systèmes logiques, notamment l’analyse infinitésimale lisse et l’analyse non standard. Dans cette dernière, les infinitésimaux sont inversibles, et leurs inverses sont des nombres infinis. Les infinis dans ce sens font partie d’un champ hyperréel ; il n’y a pas d’équivalence entre eux comme avec les transfinis cantoriens. Par exemple, si H est un nombre infini dans ce sens, alors H + H = 2H et H + 1 sont des nombres infinis distincts. Cette approche du calcul non standard est entièrement développée dans Keisler (1986).

Théorie des ensemblesModifier

Articles principaux : Cardinalité et Nombre ordinal


Correspondance biunivoque entre un ensemble infini et un ensemble non infini.un entre un ensemble infini et son sous-ensemble propre

Une forme différente d' »infini » sont les infinis ordinaux et cardinaux de la théorie des ensembles – un système de nombres transfinis développé pour la première fois par Georg Cantor. Dans ce système, le premier cardinal transfini est aleph-nul (ℵ0), la cardinalité de l’ensemble des nombres naturels. Cette conception mathématique moderne de l’infini quantitatif s’est développée à la fin du XIXe siècle à partir des travaux de Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind et d’autres – utilisant l’idée de collections ou d’ensembles.

L’approche de Dedekind consistait essentiellement à adopter l’idée de correspondance biunivoque comme norme de comparaison de la taille des ensembles, et à rejeter le point de vue de Galilée (dérivé d’Euclide) selon lequel le tout ne peut pas avoir la même taille que la partie (voir toutefois le paradoxe de Galilée où il conclut que les entiers carrés positifs ont la même taille que les entiers positifs). Un ensemble infini peut être défini simplement comme un ensemble ayant la même taille qu’au moins une de ses parties propres ; cette notion d’infini est appelée infini de Dedekind. Le schéma de droite donne un exemple : en considérant les lignes comme des ensembles infinis de points, la moitié gauche de la ligne bleue inférieure peut être mise en correspondance de manière biunivoque (correspondances vertes) avec la ligne bleue supérieure et, à son tour, avec l’ensemble de la ligne bleue inférieure (correspondances rouges) ; par conséquent, l’ensemble de la ligne bleue inférieure et sa moitié gauche ont la même cardinalité, c’est-à-dire la même  » taille « .

Cantor a défini deux types d’infinis : les nombres ordinaux et les nombres cardinaux. Les nombres ordinaux caractérisent les ensembles bien ordonnés, ou le comptage poursuivi jusqu’à n’importe quel point d’arrêt, y compris les points après qu’un nombre infini a déjà été compté. La généralisation des suites finies et infinies (ordinaires) qui sont des applications des nombres entiers positifs conduit à des applications des nombres ordinaux aux suites transfinies. Les nombres cardinaux définissent la taille des ensembles, c’est-à-dire le nombre de membres qu’ils contiennent, et peuvent être normalisés en choisissant le premier nombre ordinal d’une certaine taille pour représenter le nombre cardinal de cette taille. Le plus petit infini ordinal est celui des nombres entiers positifs, et tout ensemble ayant la cardinalité des nombres entiers est infini de façon dénombrable. Si un ensemble est trop grand pour être mis en correspondance biunivoque avec les nombres entiers positifs, il est dit indénombrable. Le point de vue de Cantor a prévalu et les mathématiques modernes acceptent l’infini réel comme faisant partie d’une théorie cohérente. Certains systèmes de nombres étendus, tels que les nombres hyperréels, incorporent les nombres ordinaires (finis) et les nombres infinis de différentes tailles.

Cardinalité du continuumModification

Article principal : Cardinalité du continuum

L’un des résultats les plus importants de Cantor était que la cardinalité du continuum c {\displaystyle \mathbf {c}}. }



est supérieure à celle des nombres naturels ℵ 0 {\displaystyle {\aleph _{0}}.



; c’est-à-dire qu’il y a plus de nombres réels R que de nombres naturels N. En particulier, Cantor a montré que c = 2 ℵ 0 > ℵ 0 {\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}.



(voir l’argument diagonal de Cantor ou la première preuve d’innombrabilité de Cantor).

L’hypothèse du continuum affirme qu’il n’existe pas de nombre cardinal entre la cardinalité des réels et la cardinalité des nombres naturels, c’est-à-dire c = ℵ 1 = ℶ 1 {\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}.



(voir Beth one). Cette hypothèse ne peut pas être prouvée ou réfutée dans le cadre de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel largement acceptée, même en supposant l’Axiome du choix.

L’arithmétique cardinale peut être utilisée pour montrer non seulement que le nombre de points d’une droite de nombres réels est égal au nombre de points de tout segment de cette droite, mais aussi que cela est égal au nombre de points sur un plan et, en fait, dans tout espace à dimension finie.



Les trois premières étapes d’une construction fractale dont la limite est une courbe remplissant l’espace, montrant qu’il y a autant de points dans une ligne unidimensionnelle que dans un carré bidimensionnel.

Le premier de ces résultats est apparent en considérant, par exemple, la fonction tangente, qui fournit une correspondance biunivoque entre l’intervalle (-π/2, π/2) et R (voir aussi le paradoxe du Grand Hôtel de Hilbert). Le second résultat a été prouvé par Cantor en 1878, mais n’est devenu intuitivement apparent qu’en 1890, lorsque Giuseppe Peano a introduit les courbes de remplissage de l’espace, des lignes courbes qui se tordent et tournent suffisamment pour remplir la totalité de n’importe quel carré, ou cube, ou hypercube, ou espace à dimensions finies. Ces courbes peuvent être utilisées pour définir une correspondance biunivoque entre les points d’un côté d’un carré et les points du carré.

GéométrieEdit

Jusqu’à la fin du XIXe siècle, l’infini était rarement abordé en géométrie, sauf dans le contexte de processus qui pouvaient être poursuivis sans aucune limite. Par exemple, une ligne était ce qu’on appelle aujourd’hui un segment de droite, à condition qu’on puisse la prolonger aussi loin qu’on le souhaite ; mais la prolonger à l’infini était hors de question. De même, une ligne n’était généralement pas considérée comme composée d’une infinité de points, mais comme un emplacement où l’on peut placer un point. Même s’il existe une infinité de positions possibles, seul un nombre fini de points peut être placé sur une ligne. En témoigne l’expression « le lieu d’un point qui satisfait une certaine propriété » (singulier), là où les mathématiciens modernes diraient généralement « l’ensemble des points qui ont la propriété » (pluriel).

L’une des rares exceptions d’un concept mathématique impliquant l’infini réel était la géométrie projective, où les points à l’infini sont ajoutés à l’espace euclidien pour modéliser l’effet de perspective qui montre des lignes parallèles se coupant « à l’infini ». Mathématiquement, les points à l’infini ont l’avantage de permettre de ne pas considérer certains cas particuliers. Par exemple, dans un plan projectif, deux lignes distinctes se croisent en un seul point, alors que sans points à l’infini, il n’existe aucun point d’intersection pour les lignes parallèles. Ainsi, les lignes parallèles et non parallèles doivent être étudiées séparément en géométrie classique, alors qu’il n’est pas nécessaire de les distinguer en géométrie projective.

Avant l’utilisation de la théorie des ensembles pour le fondement des mathématiques, les points et les lignes étaient considérés comme des entités distinctes, et un point pouvait être situé sur une ligne. Avec l’utilisation universelle de la théorie des ensembles en mathématiques, le point de vue a radicalement changé : une ligne est maintenant considérée comme l’ensemble de ses points, et on dit qu’un point appartient à une ligne au lieu d’être situé sur une ligne (cependant, cette dernière expression est toujours utilisée).

En particulier, dans les mathématiques modernes, les lignes sont des ensembles infinis.

Dimension infinieModification

Les espaces vectoriels qui apparaissent en géométrie classique ont toujours une dimension finie, généralement deux ou trois. Cependant, cela n’est pas impliqué par la définition abstraite d’un espace vectoriel, et des espaces vectoriels de dimension infinie peuvent être considérés. C’est typiquement le cas en analyse fonctionnelle où les espaces de fonctions sont généralement des espaces vectoriels de dimension infinie.

En topologie, certaines constructions peuvent générer des espaces topologiques de dimension infinie. C’est notamment le cas des espaces de boucles itérées.

FractalesEdit

La structure d’un objet fractal est réitérée dans ses grossissements. Les fractales peuvent être agrandies indéfiniment sans perdre leur structure et devenir  » lisses  » ; elles ont des périmètres infinis, et peuvent avoir des aires infinies ou finies. Une de ces courbes fractales au périmètre infini et à l’aire finie est le flocon de neige de Koch.

Mathématiques sans infiniModification

Leopold Kronecker était sceptique quant à la notion d’infini et à la façon dont ses collègues mathématiciens l’utilisaient dans les années 1870 et 1880. Ce scepticisme a été développé dans la philosophie des mathématiques appelée finitisme, une forme extrême de la philosophie mathématique dans les écoles philosophiques et mathématiques générales du constructivisme et de l’intuitionnisme.