La bibliographie de Chicago maths. m’a vraiment aidé, voici par exemple la section élémentaire (pour l’algèbre linéaire vous pouvez le trouver dans la section intermédiaire, voir le lien)
ELEMENTAIRE
Cela comprend les « sujets de lycée » et le calcul de première année.
Contenu
- Algèbre (4)
- Géométrie (2)
- Fondations (1)
- Résolution de problèmes. (4)
- Calcul (6)
- Passerelles vers des sujets intermédiaires (2)
Algèbre
Gelfand/Shen, Algèbre
Gelfand/Glagoleva/Shnol, Fonctions et graphes
Gelfand/Glagoleva/Kirillov, La méthode des coordonnées
Ces trois petits livres blancs proviennent de l’école soviétique de mathématiques par correspondance, dirigée par I. M. Gelfand pour les personnes intéressées de tous âges dans les lointaines contrées de l’URSS. Plutôt que d’essayer d’être artificiellement « terre à terre » comme le font les Américains, Gelfand part simplement du principe que vous pouvez comprendre les mathématiques telles qu’elles sont présentées (et évite les complexités formelles auxquelles les mathématiciens sont habitués). YSP et SESAME distribuent ces livres par wagons entiers à leurs étudiants, qui les adorent pour la plupart. TMoC est remarquable pour son intrigant schéma à quatre axes permettant de créer des graphes plats de R4. Dans l’ensemble, un regard frais et inspirant sur des sujets que nous tenons pour acquis, et une bonne chose à recommander aux jeunes étudiants brillants ou aux amis (ou aux parents !)
Cohen, Precalculus avec trigonométrie du cercle unitaire
J’ai utilisé ce livre au lycée et je l’ai absolument aimé. Il est très économe en preuves, et ne devrait vraiment pas être utilisé pour ce genre de perspicacité. Cependant, en termes de compréhension de la façon d’appliquer divers concepts mathématiques, il est merveilleux. Il comporte un grand nombre de graphiques, d’exemples et de tableaux faciles à consulter. Il couvre l’ensemble de l’algèbre, de la trigonométrie et de la géométrie cartésienne que toute bonne séquence de mathématiques au lycée devrait aborder. Je l’ai utilisé pendant des années comme livre de référence (par exemple, qu’est-ce que la règle de Cramer exactement, déjà…) Les solutions à un certain nombre de problèmes sont à la fin, et les problèmes ne sont pas entièrement des applications.
Géométrie
Euclide, Les éléments
Non, je ne plaisante pas. Au début, c’est incroyablement ennuyeux et fastidieux à lire, mais après un certain temps, vous entrez dans le flux de la langue et le style. Euclide vous enseigne à la fois la puissance des méthodes algébriques modernes et les choses qui sont cachées par notre instinct d’attribuer un nombre à une longueur. En outre, il y a de merveilleuses anecdotes ici et là (saviez-vous qu’Euclide a inventé la coupe de Dedekind ?). Allez-y au moins une fois, pour lire sa preuve du théorème de Pythagore. (Merci à Jonathan Beere (’95) de m’avoir convaincu que cela en valait la peine.)
J’ai le Volume I, et je dois admettre que je ne l’ai pas vraiment lu. Je pense cependant que j’en tirerais profit si quelqu’un m’en enfonçait une partie dans la gorge, car de nos jours, nous, les étudiants de premier cycle, sommes entraînés à considérer le terme « géométrique » comme un péjoratif fort – l’antithèse même de la rigueur et de la preuve.
Coxeter, Geometry revisited
C’est un texte sur la « géométrie euclidienne avancée », qui commence par les « centres » classiques et innombrables d’un triangle et procède à partir de là. Beaucoup de bons exercices. Il y a beaucoup de textes de « géométrie de collège » dans lesquels vous pouvez trouver ce genre de choses, mais la plupart d’entre eux sont destinés aux majors de maths ; ce livre et l’autre de Coxeter (voir ci-dessous) les ont tous battus.
J’aime ce livre. Je ne le possède pas, mais je l’ai feuilleté plus d’une fois et je suis d’accord pour dire qu’il a une qualité agréable de non-mort cérébrale. On y trouve des faits géométriques intéressants que vous n’avez probablement jamais vus auparavant.
Fondations
Rucker, Infinity and the mind
Ce n’est pas vraiment un livre de mathématiques. C’est une introduction amicale au concept de l’infini, des nombres transfinis et des paradoxes associés. Je le recommanderais aux élèves du secondaire qui s’intéressent aux mathématiques, mais qui ne sont pas tout à fait prêts à s’asseoir et à lire preuve après preuve des théorèmes. (En fait, je l’ai lu pour la première fois au lycée dans le cadre d’un cours de mathématiques en étude indépendante). Le livre contient bien quelques preuves, mais pas sous la forme rigoureuse d’un texte mathématique standard. Le livre contient quelques preuves, mais pas sous la forme rigoureuse d’un texte de mathématiques standard. Il inclut plus de contexte historique sur les concepts que la plupart des textes de mathématiques, ce qui est agréable. Chaque chapitre est accompagné de problèmes, et un corrigé (avec des explications) se trouve à la fin du livre.
Résolution de problèmes (pré-collège)
Les livres de problèmes de la NML
La MAA publie une série appelée « New Mathematical Library » qui contient de nombreux excellents titres destinés au niveau sophomore du collège ou à un niveau inférieur (Geometry revisited en fait partie). Dans cette série se trouvent quatre livres de problèmes donnés sur l’AHSME, un de problèmes USAMO et deux de problèmes IMO, tous avec des solutions. Nous utilisons beaucoup les livres de l’AHSME à YSP ; les problèmes de l’USAMO et de l’OMI me donnent encore du fil à retordre, et sont amusants si vous cherchez la frustration un soir.
Larson, La résolution de problèmes par les problèmes
Après avoir été aux prises avec les problèmes de l’OMI pendant un certain temps, tournez-vous ici pour trouver un livre qui enseigne (autant qu’un livre peut le faire) l’art de les résoudre. Les stratégies cognitives sont exposées avec des exemples de problèmes (principalement issus d’Olympiades et de Putnams) auxquels elles s’appliquent.
Je possède ce livre, ou du moins je le possédais – je ne l’ai pas revu depuis le lycée. Je ne suis vraiment pas un grand résolveur de problèmes de concours, mais j’ai utilisé ce livre et je pense qu’il a contribué à me préparer aux mathématiques de Chicago. Beaucoup de bons problèmes, pas tous ineptes.
Pólya, How to solve it
Je ne l’ai pas lu, mais c’est censé être la version « classique » de Larson ci-dessus.
Pólya, Mathematics and plausible reasoning, I and II
Ce sont les « suites » de How to solve it de Pólya. Elles sont assurément intéressantes, bien que leur intérêt principal soit peut-être psychologique/philosophique (ce n’est que relativement aux mathématiques que la philosophie et la psychologie se confondent !) Je ne suis pas sûr que l’on puisse vraiment devenir un résolveur de problèmes significativement meilleur en lisant un livre sur la nature du raisonnement mathématique, mais j’admire Pólya pour avoir écrit un livre intéressant et stimulant sur la pratique des mathématiques ; de tels livres sont à mon avis trop rares.
En 1997-98, quelques livres ayant le même thème général que Larson, mais des collections de problèmes différentes, ont été publiés ; je n’en ai vu aucun.
Calcul
Bien sûr, comme nous le savons tous, le seul vrai livre de calcul est
Spivak, Calcul
C’est un livre que tout le monde devrait lire. Si vous ne connaissez pas le calcul et que vous avez le temps, lisez-le et faites tous les exercices. Les parties 1 et 2 sont celles où j’ai finalement appris ce qu’était une limite, après trois ans de mauvaises « explications » de livres de calcul. L’ensemble est le traitement le plus cohéremment envisagé et expliqué du calcul à une variable que j’ai vu (on voit tout au long que Spivak a une vision de ce qu’il essaie d’enseigner).
Le livre a des défauts, bien sûr. Les exercices deviennent un peu monotones parce que Spivak a quelques astuces qu’il aime utiliser à plusieurs reprises, et peut-être trop peu d’entre eux traitent des applications (mais vous pouvez trouver ce genre d’exercice dans n’importe quel livre). De plus, il évite parfois la sophistication au détriment de la clarté, comme dans les preuves des trois théorèmes difficiles du chapitre 8 (où beaucoup de poussées d’epsilon remplacent les mots « compact » et « connecté »). Néanmoins, c’est le meilleur livre de calcul dans l’ensemble, et je l’ai vu faire un merveilleux travail de rectification du cerveau sur de nombreuses personnes.
Oui, il est bon, bien que peut-être plus d’affection vienne des étudiants plus avancés qui le feuillettent à nouveau ? La plupart de mon exposition à ce livre vient du tutorat et de la notation pour 161, mais je crois sérieusement que travailler autant de problèmes que possible (il faut reconnaître que beaucoup d’entre eux sont difficiles pour les étudiants de première année, et quelques-uns sont vraiment difficiles !) est inestimable pour développer la maturité mathématique et la technique epsilonique dont aucun major en maths ne devrait être dépourvu.
Autres livres de calcul dignes d’intérêt, et pourquoi :
Spivak, The hitchhiker’s guide to calculus
Parfaitement ce que dit le titre. Je ne l’ai pas lu, mais beaucoup d’étudiants de 130s l’adorent.
Hardy, A course of pure mathematics
Courant, Differential and integral calculus
Ces deux-là sont pour la « culture ». Ce sont des traitements classiques du calcul, de l’époque où un livre de maths était rigoureux, point. Hardy se concentre davantage sur l’élégance conceptuelle et le développement (en commençant par la construction de R). Courant va plus loin dans les applications que ce qui est habituel (y compris autant d’analyse de Fourier qu’il est possible de faire sans intégration de Lebesgue). Ce sont de vieux livres, et les vieux livres sont difficiles à lire, mais ils en valent généralement la peine. (Rappelez-vous ce qu’Abel disait à propos de lire les maîtres et non les élèves !)
Apostol, Calculus
C’est « l’autre » texte moderne de calcul rigoureux. Se lit comme un texte de niveau supérieur : lemme-théorème-preuve-corollaire. Sec mais complet (le deuxième volume inclut le calcul multivariable).