Théorème de Pythagore, théorème géométrique bien connu selon lequel la somme des carrés des branches d’un triangle rectangle est égale au carré de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) – ou, en notation algébrique familière, a2 + b2 = c2. Bien que le théorème ait longtemps été associé au mathématicien-philosophe grec Pythagore (vers 570-500/490 avant J.-C.), il est en fait beaucoup plus ancien. Quatre tablettes babyloniennes datant d’environ 1900-1600 avant J.-C. indiquent une certaine connaissance du théorème, avec un calcul très précis de la racine carrée de 2 (la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont la longueur des deux branches est égale à 1) et des listes d’entiers spéciaux connus sous le nom de triples de Pythagore qui le satisfont (par exemple, 3, 4 et 5 ; 32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Le théorème est mentionné dans le Baudhayana Sulba-sutra de l’Inde, qui a été écrit entre 800 et 400 avant notre ère. Néanmoins, le théorème a été attribué à Pythagore. Il s’agit également de la proposition numéro 47 du livre I des Éléments d’Euclide.
Selon l’historien syrien Iamblichus (vers 250-330 ce), Pythagore aurait été initié aux mathématiques par Thalès de Milet et son élève Anaximandre. Quoi qu’il en soit, on sait que Pythagore s’est rendu en Égypte vers 535 avant J.-C. pour approfondir ses études, qu’il a été capturé lors d’une invasion en 525 avant J.-C. par Cambyses II de Perse et emmené à Babylone, et qu’il a peut-être visité l’Inde avant de retourner en Méditerranée. Pythagore s’est rapidement installé à Croton (aujourd’hui Crotone, Italie) et a fondé une école, ou en termes modernes un monastère (voir pythagorisme), où tous les membres ont fait vœu de secret, et tous les nouveaux résultats mathématiques ont été attribués à son nom pendant plusieurs siècles. Ainsi, non seulement la première preuve du théorème n’est pas connue, mais on doute également que Pythagore lui-même ait réellement prouvé le théorème qui porte son nom. Certains chercheurs suggèrent que la première preuve était celle illustrée dans la figure. Elle a probablement été découverte indépendamment dans plusieurs cultures différentes.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Le livre I des Éléments se termine par la célèbre preuve du théorème de Pythagore par Euclide, dite du « moulin à vent ». Plus tard, dans le livre VI des Éléments, Euclide fait une démonstration encore plus facile en utilisant la proposition selon laquelle les aires des triangles semblables sont proportionnelles aux carrés de leurs côtés correspondants. Apparemment, Euclide a inventé la preuve du moulin à vent afin de pouvoir placer le théorème de Pythagore en conclusion du livre I. Il n’avait pas encore démontré (comme il le ferait dans le livre V) que les longueurs de lignes peuvent être manipulées dans les proportions comme s’il s’agissait de nombres commensurables (entiers ou rapports d’entiers). Le problème auquel il était confronté est expliqué dans l’encadré : Incommensurables.
Un grand nombre de preuves et d’extensions différentes du théorème de Pythagore ont été inventées. En prenant les extensions en premier, Euclide lui-même a montré dans un théorème loué dans l’antiquité que toute figure régulière symétrique tracée sur les côtés d’un triangle rectangle satisfait la relation de Pythagore : la figure tracée sur l’hypoténuse a une aire égale à la somme des aires des figures tracées sur les jambes. Les demi-cercles qui définissent les lunes d’Hippocrate de Chios sont des exemples d’une telle extension. (Voir encadré : Quadrature de la lune.)
Dans les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques (ou Neuf chapitres), compilés au 1er siècle de l’ère chrétienne en Chine, plusieurs problèmes sont donnés, ainsi que leurs solutions, qui consistent à trouver la longueur d’un des côtés d’un triangle rectangle lorsqu’on donne les deux autres côtés. Dans le Commentaire de Liu Hui, datant du IIIe siècle, Liu Hui propose une preuve du théorème de Pythagore qui consiste à découper les carrés des branches du triangle rectangle et à les réarranger (« à la manière d’un tangram ») pour qu’ils correspondent au carré de l’hypoténuse. Bien que son dessin original n’ait pas survécu, la figure suivante montre une reconstruction possible.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Le théorème de Pythagore fascine les gens depuis près de 4 000 ans ; il existe aujourd’hui plus de 300 preuves différentes, dont celles du mathématicien grec Pappus d’Alexandrie (florissant vers 320 av. 320 ce), le mathématicien-physicien arabe Thābit ibn Qurrah (vers 836-901), l’artiste-inventeur italien Léonard de Vinci (1452-1519) et même le président des États-Unis James Garfield (1831-81).