A 𝑛 ⨯ 𝑛 matrice carrée 𝑸 est dite orthogonale si ses vecteurs colonnes et lignes 𝑛 sont des vecteurs unitaires orthogonaux. Plus précisément, lorsque ses vecteurs colonnes ont la longueur un, et sont orthogonaux par paire ; de même pour les vecteurs lignes.
Cela conduit à la caractérisation suivante qu’une matrice 𝑸 devient orthogonale lorsque sa transposée est égale à sa matrice inverse.
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- Pourquoi la matrice inverse de 𝑸 est sa transposée ?
Propriétés des matrices orthogonales
- 2.1 Toute matrice orthogonale est inversible
- 2.2 Le produit de matrices orthogonales est également orthogonal
- 2.3 Le déterminant des matrices orthogonales
Le déterminant d’une matrice orthogonale est égal à 1 ou -1. Puisque det(A) = det(Aᵀ) et que le déterminant du produit est le produit des déterminants lorsque A est une matrice orthogonale.
- 2.4 Préservation des longueurs et des angles
- 2.5 Les matrices orthogonales représentent une rotation
Comme le prouvent les figures ci-dessus, la transformation orthogonale conserve les longueurs et les angles inchangés. De plus, son déterminant est toujours 1 ou -1 ce qui implique le facteur d’échelle du volume. En d’autres termes, la transformation orthogonale laisse les angles et les longueurs intacts, et elle ne change pas le volume du parallélépipède. De ces faits, nous pouvons déduire que la transformation orthogonale signifie en fait une rotation.
Référence
https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_matrix
https://www.quora.com/Why-do-orthogonal-matrices-represent-rotations
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https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/alternate-bases/orthonormal-basis/v/lin-alg-orthogonal-matrices-preserve-angles-and-lengths